2024年考研数二第14题解析：这大概是整份试卷最简单的题目，但极易写错最终答案

一、题目

已知函数 $f(x)=(e^x+1)x^2$, 则 $f^{(5)}(1)=?$

难度评级：

二、解析

本题考察的就是莱布尼兹公式。当然，不使用莱布尼兹公式，也可以直接“暴力求导”，例如，令 $A=e^x+1$, 然后可知 $f(x)$ $=$ $A\cdot x^2$, 且 $A^{\prime }$ $=$ $A^{\prime \prime }$ $=$ $A^{(3)}$ $=$ $\cdots$ $=$ $A^{(5)}$ $=$ $e^x$, 之后，按照一般的求导法则进行计算即可——

但是，这样计算步骤过于繁杂。

因此，下面我们还是用莱布尼兹公式计算。

已知：

$$f(x)=(e^x+1)\cdot x^2$$

于是：

$$\begin{array}{r}{f}^{(5)}(x)\\ \\ & =C_5^0{(e^x+1)}^{(5)}{\left(x^2\right)}^{(0)}+C_5^1{(e^x+1)}^{(4)}\cdot {\left(x^2\right)}^{\prime }+\\ & C_5^2{(e^x+1)}^{(3)}\cdot {\left(x^2\right)}^{\prime \prime }\\ \\ & =1\cdot {(e^x+1)}^{(5)}\cdot x^2+\frac{5}{1}{(e^x+1)}^{(4)}\cdot 2x+\\ & \frac{5\times 4}{2\times 1}{(e^x+1)}^{(3)}\cdot 2\\ \\ & =x^2{(e^x+1)}^{(5)}+10x{(e^x+1)}^{(4)}+20{(e^x+1)}^{(3)}\\ \\ & =x^2\cdot e^x+10x\cdot e^x+20e^x\end{array}$$

于是：

$$\begin{array}{rl}{f}^{(5)}(1)& =1\cdot e^1+10\cdot 1\cdot e^1+20\cdot e^1\\ & =e+10e+20e\\ & =31e\end{array}$$

注意：
本题常见的错误是将答案写成 “$31$”, “$31e^x$” 等，因为在代入 $x=1$ 的时候，很容易忽视 $e^x$.

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