变限积分求高阶导：分清谁是变量，能求出的先求出，能代入的先代入

一、题目

已知 $x = x (t)$ 由方程 $\sin t$ $-$ $\int_{1}^{x - t} e^{- u^{2}} d u$ $=$ $0$ 所确定, 则 ${\frac{d^{2} x}{d t^{2}} |}_{t = 0}$ $=$ $?$

难度评级：

首先，由题目已知条件 $x = x (t)$ 可知， $t$ 为自变量， $x$ 为因变量，因此，我们首先将 $t = 0$ 代入下式：

$\begin{matrix} (1) & \sin t - \int_{1}^{x - t} e^{- u^{2}} d u = 0 \end{matrix}$

于是可得：

$0 - \int_{1}^{x} e^{- u^{2}} d u = 0 \Rightarrow$

$x = 1$

或者记作：

${x |}_{t = 0} = 1$

接着，对上面的 $(1)$ 式求一阶导可得：

$\cos t - (x - t)_{t}^{'} \cdot e^{- (x - t)^{2}} = 0 \Rightarrow$

$\begin{matrix} (2) & \cos t - (\frac{d x}{d x} - 1) \cdot e^{- (x - t)^{2}} = 0 \end{matrix}$

于是，将 $t = 0$ , $x = 1$ 代入 $(2)$ 式，可得：

$1 - (\frac{d x}{d x} - 1) \cdot \frac{1}{e} = 0 \Rightarrow$

$1 = \frac{d x}{d x} \cdot \frac{1}{e} - \frac{1}{e} \Rightarrow$

$\frac{d x}{d x} = (1 + \frac{1}{e}) \cdot e \Rightarrow$

$\frac{d x}{d x} = e + 1$

接着，对上面的 $(2)$ 式中的 $t$ 继续求导，可得：

$- \sin t - \frac{d^{2} x}{d x^{2}} e^{- (x - t)^{2}} - (\frac{d x}{d x} - 1) e^{- (x - t)^{2}} [- 2 (\frac{d x}{d x} - 1)] = 0$

将 $t = 0$ , $x = 1$ , $\frac{d x}{d x}$ $=$ $e + 1$ 代入上式，可得：

$0 - \frac{d^{2} x}{d x^{2}} \cdot \frac{1}{e} - e \cdot \frac{1}{e} (- 2 e) = 0 \Rightarrow$

$- \frac{d^{2} x}{d x^{2}} \cdot \frac{1}{e} + 2 e = 0 \Rightarrow$

$\frac{d^{2} x}{d x^{2}} \cdot \frac{1}{e} = 2 e \Rightarrow$

$\frac{d^{2} x}{d x^{2}} = 2 e^{2}$

即：

${\frac{d^{2} x}{d t^{2}} |}_{t = 0} = 2 e^{2}$

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