使正定矩阵 A 和 B 相乘所得的矩阵也是正定矩阵的充要条件是什么？

一、题目

若 $A$ 和 $B$ 都是 $n$ 阶正定矩阵，请证明 $AB$ 也为正定矩阵的充要条件是 $AB=BA$

难度评级：

二、解析

充分性的证明（由 $AB$ 为正定矩阵推 $AB=BA$）

若 $A$, $B$, $AB$ 都是正定矩阵，则根据正定矩阵的对称性，有：

$$\begin{array}{rl}{A}^{\mathrm{\top }}& =A\\ B^{\mathrm{\top }}& =B\\ (AB{)}^{\mathrm{\top }}& =AB\end{array}$$

又因为：

$$\begin{array}{rl}AB& =(AB{)}^{\mathrm{\top }}\\ & =B^{\mathrm{\top }}{A}^{\mathrm{\top }}\\ & =BA\end{array}$$

因此可知，充分性成立。

必要性的证明

设 $\lambda$ 是矩阵 $AB$ 的任意一个特征值，$\alpha$ 是与之对应的特征向量，则有：

$$AB\alpha =\lambda \alpha ,\alpha \ne 0$$

因为 $A$ 和 $B$ 都是正定矩阵，因此，$A$ 和 $B$ 的特征值都不可能为零，则 $AB$ 对应的特征值也不可能为零，进而可知，不可能存在对应的零向量 $\alpha =0$

进而有：

$$B\alpha =\lambda A^{-1}\alpha \Rightarrow$$

$${\alpha }^{\mathrm{\top }}B\alpha ={\alpha }^{\mathrm{\top }}(\lambda A^{-1}\alpha )=\lambda ({\alpha }^{\mathrm{\top }}{A}^{-1}\alpha )$$

又由于 $B$ 是正定矩阵，因此，对任意的 $\alpha \ne 0$, 均有：

$$\begin{array}{}\text{(1)}& {\alpha }^{\mathrm{\top }}B\alpha >0\end{array}$$

即：

$$\begin{array}{}\text{(2)}& \lambda ({\alpha }^{\mathrm{\top }}{A}^{-1}\alpha )>0\end{array}$$

同理，由于 $A$ 是正定矩阵，其逆矩阵 $A^{-1}$ 也是正定矩阵，因此，对任意的 $\alpha \ne 0$, 均有：

$$\begin{array}{}\text{(3)}& {\alpha }^{\mathrm{\top }}{A}^{-1}\alpha >0\end{array}$$

结合 $(2)$ 式和 $(3)$ 式可知，此时：

$$\lambda >0$$

因此，矩阵 $AB$ 是正定矩阵。

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