使正定矩阵 A 和 B 相乘所得的矩阵也是正定矩阵的充要条件是什么？

一、题目

若 $A$ 和 $B$ 都是 $n$ 阶正定矩阵，请证明 $AB$ 也为正定矩阵的充要条件是 $AB = BA$

难度评级：

二、解析

充分性的证明（由 $AB$ 为正定矩阵推 $AB = BA$）

若 $A$, $B$, $AB$ 都是正定矩阵，则根据正定矩阵的对称性，有：

$$
\begin{aligned}
A^{\top} & = A \\
B^{\top} & = B \\
(AB)^{\top} & = AB
\end{aligned}
$$

又因为：

$$
\begin{aligned}
AB & = (AB)^{\top} \\
& = B^{\top} A^{\top} \\
& = BA
\end{aligned}
$$

因此可知，充分性成立。

必要性的证明

设 $\lambda$ 是矩阵 $AB$ 的任意一个特征值，$\alpha$ 是与之对应的特征向量，则有：

$$
AB \alpha = \lambda \alpha, \ \alpha \neq 0
$$

因为 $A$ 和 $B$ 都是正定矩阵，因此，$A$ 和 $B$ 的特征值都不可能为零，则 $AB$ 对应的特征值也不可能为零，进而可知，不可能存在对应的零向量 $\alpha = 0$

进而有：

$$
B \alpha = \lambda A^{-1} \alpha \Rightarrow
$$

$$
\alpha^{\top} B \alpha = \alpha^{\top}(\lambda A^{-1} \alpha) = \lambda (\alpha^{\top} A^{-1} \alpha)
$$

又由于 $B$ 是正定矩阵，因此，对任意的 $\alpha \neq 0$, 均有：

$$
\alpha^{\top} B \alpha > 0 \tag{1}
$$

即：

$$
\lambda (\alpha^{\top} A^{-1} \alpha) > 0 \tag{2}
$$

同理，由于 $A$ 是正定矩阵，其逆矩阵 $A^{-1}$ 也是正定矩阵，因此，对任意的 $\alpha \neq 0$, 均有：

$$
\alpha^{\top} A^{-1} \alpha > 0 \tag{3}
$$

结合 $(2)$ 式和 $(3)$ 式可知，此时：

$$
\lambda > 0
$$

因此，矩阵 $AB$ 是正定矩阵。

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