通过转化为函数的方式求解抽象行列式的值

一、题目

已知 $A$ 是 $3$ 阶矩阵，且 $|A+E|=1$, $A+2E=1$, $|A+3E|=1$, 则 $A+4E=?$

难度评级：

二、解析

一般的建方程解法

观察下面的式子可知，只有矩阵 $E$ 前面的系数是“变化”的：

$$\{\begin{array}{l}|A+E|=1\\ |A+2E|=1\\ |A+3E|=1\\ |A+4E|=?\end{array}$$

于是，我们可以定义如下以 $k$ 为变量的函数：

$$f(k)=|A+kE|$$

即：

$$f(k)=\left|\begin{array}{ccc}{a}_{11}+k& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}+k& a_{23}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}+k\end{array}\right|$$

上式展开式之后，为如下形式，其中 $a_0$, $a_1$, $a_2$, $a_3$ 为常数：

$$f(k)=a_0{k}^3+a_1{k}^2+a_{2}k+a_3$$

为了计算简便，我们可以将上式整体除以 $a_0$, 并重新定义 $a_1$, $a_2$, $a_3$, 进而可得下式：

$$f(k)=k^3+a_1{k}^2+a_{2}k+a_3$$

又由题可知：

$$\{\begin{array}{l}f(1)=1\\ f(2)=1\\ f(3)=1\end{array}$$

即：

$$\{\begin{array}{l}1+a_1+a_2+a_3=1\\ 8+4a_1+2a_2+a_3=1\\ 27+9a_1+3a_2+a_3=1\end{array}$$

联立解得：

$$\{\begin{array}{l}{a}_1=-6\\ a_2=11\\ a_3=-5\end{array}$$

于是可得：

$$f(k)=k^3–6k^2+11k–5$$

因此，当 $k=4$ 时，有：

$$f(4)=64–96+44–5=7$$

根据规律直接建方程的解法

观察下面的式子可知，只有矩阵 $E$ 前面的系数是“变化”的：

$$\begin{array}{}\text{(1)}& \{\begin{array}{l}|A+E|=1\\ |A+2E|=1\\ |A+3E|=1\end{array}\end{array}$$

于是，我们可以定义如下以 $k$ 为变量的函数：

$$f(k)=|A+kE|$$

而通过观察规律可知，将方程定义为如下形式，刚好可以满足上面的 $(1)$ 式

$$f(k)=(k–1)(k–2)(k–3)+1$$

于是，当 $k=4$ 时：

$$f(4)=3\cdot 2\cdot 1+1=7$$

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