什么样的矩阵乘以其转置矩阵得正定矩阵？

一、题目

已知 $A$ 为 $n$ 阶矩阵，非齐次线性方程组 $Ax=\beta$ 有唯一解，请证明矩阵 $A^{\mathrm{\top }}A$ 是正定矩阵。

难度评级：

二、解析

要证明一个矩阵是正定矩阵，一般情况下先证明其是对称矩阵：

由于：

$$(A^{\mathrm{\top }}A{)}^{\mathrm{\top }}=A^{\mathrm{\top }}(A^{\mathrm{\top }}{)}^{\mathrm{\top }}=A^{\mathrm{\top }}A$$

因此可知，矩阵 $A^{\mathrm{\top }}A$ 是一个对称矩阵。

又因为非齐次线性方程组 $Ax=\beta$ 有唯一解，于是可知，矩阵 $A$ 是一个可逆的满秩矩阵，即：

$$r(A)=r(A,\beta )=n$$

因此可知，对于齐次线性方程组 $Ax=0$ 而言，只有零解 $x=0$ 才能使之成立，即：

$$x=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ ⋮\\ 0\end{array}\right)$$

于是，任意 $n$ 维列向量 $x\ne 0$, 都会使得下式成立：

$$\begin{array}{}\text{(1)}& Ax\ne 0\end{array}$$

进而，任意 $n$ 维列向量 $x\ne 0$, 也会使得下式成立：

$$\begin{array}{}\text{(2)}& Ax\ne 0\Rightarrow (Ax{)}^{\mathrm{\top }}\ne 0^{\mathrm{\top }}\Rightarrow x^{\mathrm{\top }}{A}^{\mathrm{\top }}\ne 0\end{array}$$

联立 $(1)$, $(2)$ 两式：

$$\{\begin{array}{l}Ax\ne 0\\ x^{\mathrm{\top }}{A}^{\mathrm{\top }}\ne 0\end{array}\Rightarrow$$

$$x^{\mathrm{\top }}{A}^{\mathrm{\top }}Ax\ne 0\Rightarrow$$

$$\begin{array}{}\text{(3)}& (Ax{)}^{\mathrm{\top }}(Ax)\ne 0\end{array}$$

又因为转置运算不会改变向量或者矩阵内部元素的正负（只是行变列或者列变行），因此，在上面的 $(3)$ 式中，行向量 $(Ax{)}^{\mathrm{\top }}$ 和列向量 $(Ax)$ 中对应的元素要么都是正数，要么都是负数，又因为没有为零的元素，于是：

$$\mathbf{(}\mathit{A}\mathit{x}{\mathbf{)}}^{\mathbf{\top }}\mathbf{(}\mathit{A}\mathit{x}\mathbf{)}\mathbf{>}\mathbf{0}$$

又：

$$x^{\mathrm{\top }}(A^{\mathrm{\top }}A)x=(Ax{)}^{\mathrm{\top }}(Ax)$$

即：

$$x^{\mathrm{\top }}(A^{\mathrm{\top }}A)x>0$$

根据定义可知，$x^{\mathrm{\top }}(A^{\mathrm{\top }}A)x$ 是正定二次型，二次型矩阵 $A^{\mathrm{\top }}A$ 是一个正定矩阵。

总结：
根据本题中的证明可知，若 $A$ 是满秩矩阵，则 $A^{\mathrm{\top }}A$ 一定是一个正定矩阵。

---