当分子中包含无穷多个因式的时候，该怎么计算极限？

一、题目

$$I=\underset{x\to 1}{lim}\frac{(1-x)(1-\sqrt{x})\cdots (1-\sqrt[n]{x})}{(1-x{)}^n}=?$$

难度评级：

二、解析

注意：
1. 在考研数学中，这类“分子中包含无穷多个因式”的题目一般都是有规律可循的；
2. 本题中用到的等价无穷小公式为（$x\to 0$ 时）：$(1+x{)}^a–1\sim ax$

$$\begin{array}{rl}I=& \underset{x\to 1}{lim}\frac{(1-x)(1-\sqrt{x})\cdots (1-\sqrt[n]{x})}{(1-x{)}^n}\\ =& \underset{(x-1)\to 0}{lim}\frac{(1-x)[1-\sqrt{1+(x-1)}]\cdots (1-\sqrt[n]{1+(x-1)})}{(1-x{)}^n}\\ =& \underset{(x-1)\to 0}{lim}\frac{(1-x)[-\frac{1}{2}(x-1)]\cdots [-\frac{1}{n}(x-1)]}{(1-x{)}^n}\\ =& \underset{(1-x)\to 0}{lim}\frac{(1-x)\frac{1}{2}(1-x)\cdots \frac{1}{n}(1-x)}{(1-x{)}^n}\\ =& \underset{(1-x)\to 0}{lim}\frac{(1-x{)}^n\cdot \frac{1}{1}\cdot \frac{1}{2}\cdots \frac{1}{n}}{(1-x{)}^n}=\frac{1}{n!}\end{array}$$

---