应用罗尔定理的特征：闭区间连续、开区间可导、端点值相等

一、题目

设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，在 $(0,1)$ 内可导，且 $f(1)=0$, 请证明 $\exists \xi \in(\mathbf{0}, \mathbf{1})$, 使 $\xi f^{\prime}(\xi)=-f(\xi)$ 成立.

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二、解析

要证：

$$
\xi f^{\prime}(\xi)=-f(\xi)
$$

其实就是证：

$$
\xi f^{\prime}(\xi) + f(\xi) = 0
$$

又因为：

$$
\left( xf(x) \right)^{\prime} = xf(x) + f(x)
$$

因此，构造函数 $F(x)$ 为：

$$
F(x) = xf(x)
$$

又：

$$
\begin{cases}
F(0) = 0 \cdot f(0) = 0 \\
F(1) = 1 \cdot f(1) = 1 \cdot 0 = 0
\end{cases}

于是，根据罗尔定理可知，存在 $\xi \in (0, 1)$, 使得 $F^{\prime}(\xi) = 0$ 成立，即下式成立：

$$
\xi f^{\prime}(\xi) + f(\xi) = 0 \Rightarrow
$$

$$
\xi f^{\prime}(\xi)=-f(\xi)
$$

综上可知，本题得证。

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