求极限“取大头丢小头”需要注意：有些“小头”不一定真的小

一、题目

$$
\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{n^{n}}{(n + 1)^{n}} = ?
$$

难度评级：

二、解析

错误解法：

$$
\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{n^{n}}{(n + 1)^{n}} =
$$

$$
\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{n^{n}}{(n)^{n}} = 1
$$

正确解法：

$$
\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{n^{n}}{(n + \textcolor{orangered}{1})^{\textcolor{yellow}{n}}} =
$$

注意：
由于 $\textcolor{yellow}{n \rightarrow \infty}$, 因此，在 $(n + \textcolor{orangered}{1})^{\textcolor{yellow}{n}}$ 中，$\textcolor{orangered}{1}$ 并不是真的“小头”，在无穷大的 $\textcolor{yellow}{n}$ 次方作用下，$(n + \textcolor{orangered}{1})$ 虽然只比 $(n + 0)$ 大了一点，但最终结果完全不同。

$$
\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{n^{n}}{[n(1 + \frac{1}{n})]^{n}} =
$$

$$
\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{n^{n}}{n^{n} \cdot \textcolor{springgreen}{(1 + \frac{1}{n})^{n}}} =
$$

$$
\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{(1 + \frac{1}{n})^{n}} = \textcolor{springgreen}{\frac{1}{e}}
$$

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