2023年考研数二第08题解析：伴随矩阵的性质在分块矩阵上的推广

一、题目

设 $A,B$ 为 $n$ 阶可逆矩阵, $E$ 为 $n$ 阶单位矩阵, $M^{\ast }$ 为矩阵 $M$ 的伴随矩阵,则 ${\left(\begin{array}{ll}A& E\\ O& B\end{array}\right)}^{\ast }=()$

难度评级：

二、解析

一、反代法

由于：

$$A^{\ast }=|A|A^{-1}\Rightarrow A{A}^{\ast }=|A|\cdot E$$

因此：

$$\left[\begin{array}{cc}A& E\\ 0& B\end{array}\right]{\left[\begin{array}{cc}A& E\\ 0& B\end{array}\right]}^{\ast }=\left|\begin{array}{cc}A& E\\ 0& B\end{array}\right|=|A||B|$$

对于 (D) 选项中的矩阵：

$$\left[\begin{array}{cc}A& E\\ 0& B\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}|B|A^{\ast }& -A^{\ast }{B}^{\ast }\\ O& |A|B^{\ast }\end{array}\right]=$$

$$\left[\begin{array}{cc}|B|A{A}^{\ast }& -A{A}^{\ast }{B}^{\ast }+|A|B^{\ast }\\ O& |A|B{B}^{\ast }\end{array}\right]=$$

$$\left[\begin{array}{cc}|B||A|E& O\\ O& |A||B|\end{array}\right]=|A||B|E=|A||B|$$

综上可知，(D) 选项正确。

二、直接计算法

已知：

$$A^{\ast }==|A|\cdot A^{-1}$$

于是：

$${\left[\begin{array}{ll}A& E\\ O& B\end{array}\right]}^{\ast }=\left|\begin{array}{ll}A& E\\ O& B\end{array}\right|{\left[\begin{array}{ll}A& E\\ O& B\end{array}\right]}^{-1}=$$

根据分块矩阵的逆运算法则，有：

$$\left|\begin{array}{ll}A& E\\ O& B\end{array}\right|\left[\begin{array}{cc}{A}^{-1}& -A^{-1}{B}^{-1}\\ O& B^{-1}\end{array}\right]=$$

$$|A||B|\left[\begin{array}{cc}{A}^{-1}& -A^{-1}{B}^{-1}\\ O& B^{-1}\end{array}\right]=$$

$$\left[\begin{array}{cc}|B||A|A^{-1}& -|A|A^{-1}|B|B^{-1}\\ O& |A||B|B^{-1}\end{array}\right]=$$

$$\left[\begin{array}{cc}|B|A^{\ast }& -A^{\ast }{B}^{\ast }\\ O& |A|B^{\ast }\end{array}\right]$$

综上可知，本题应选：D.

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