2023年考研数二第08题解析：伴随矩阵的性质在分块矩阵上的推广

一、题目

设 $A, B$ 为 $n$ 阶可逆矩阵, $E$ 为 $n$ 阶单位矩阵, $M^{*}$ 为矩阵 $M$ 的伴随矩阵,则 $\left(\begin{array}{ll}A & E \\ O & B\end{array}\right)^{*}=(\quad)$

难度评级：

二、解析

一、反代法

由于：

$$
A^{*}=|A| A^{-1} \Rightarrow A A^{*}=|A| \cdot E
$$

因此：

$$
\textcolor{orangered}{
\left[\begin{array}{cc}
A & E \\
0 & B
\end{array}\right]
\left[\begin{array}{cc}
A & E \\
0 & B
\end{array}\right]^{*} = \left|\begin{array}{cc}
A & E \\
0 & B
\end{array}\right| = |A| |B|
}
$$

对于 (D) 选项中的矩阵：

$$
\textcolor{springgreen}{
\left[\begin{array}{cc}
A & E \\
0 & B
\end{array}\right]
\left[\begin{array}{cc}
|B| A^{*} & -A^{*} B^{*} \\
O & |A| B^{*}
\end{array}\right] }=
$$

$$
\left[\begin{array}{cc}
|B| A A^{*} & -A A^{*} B^{*}+|A| B^{*} \\
O & |A| B B^{*}
\end{array}\right]=
$$

$$
\left[\begin{array}{cc}
|B||A| E & O \\
O & |A||B|
\end{array}\right] = |A||B| E = \textcolor{springgreen}{ |A| |B| }
$$

综上可知，(D) 选项正确。

二、直接计算法

已知：

$$
A^{*}=\quad=|A| \cdot A^{-1}
$$

于是：

$$
\textcolor{springgreen}{
\left[\begin{array}{ll}A & E \\ O & B\end{array}\right]^{*}=\left|\begin{array}{ll}A & E \\ O & B\end{array}\right|\left[\begin{array}{ll}A & E \\ O & B\end{array}\right]^{-1} }=
$$

根据分块矩阵的逆运算法则，有：

$$
\left|\begin{array}{ll}A & E \\ O & B\end{array}\right|\left[\begin{array}{cc}A^{-1} & -A^{-1} B^{-1} \\ O & B^{-1}\end{array}\right]=
$$

$$
|A||B|\left[\begin{array}{cc}A^{-1} & -A^{-1} B^{-1} \\ O & B^{-1}\end{array}\right]=
$$

$$
\left[\begin{array}{cc}|B| |A| A^{-1} & -|A| A^{-1}|B| B^{-1} \\ O & |A||B| B^{-1}\end{array}\right]=
$$

$$
\textcolor{springgreen}{
\left[\begin{array}{cc}|B| A^{*} & -A^{*} B^{*} \\ O & |A| B^{*}\end{array}\right]
}
$$

综上可知，本题应选：D.

相关例题

1. 分块矩阵的逆运算和次方运算怎么算？

---