2017 年研究生入学考试数学一选择题第 2 题解析

一、题目

若函数 $f(x)$ 可导，且 $f(x)$ $f^{\prime }(x)$ $>$ $0$, 则（）

( A ) $f(1)$ $>$ $f(-1)$

( B ) $f(1)$ $<$ $f(-1)$

( C ) $|f(1)|$ $>$ $|f(-1)|$

( D ) $|f(1)|$ $<$ $|f(-1)|$

二、解析

观察题目我们可以发现，$f(x)$ $f^{\prime }(x)$ 和下面这个这个公式很像：

$[f(x)$ $\cdot$ $g(x){]}^{\prime }$ $=$ $f^{\prime }(x)$ $g(x)$ $+$ $f(x)$ $g^{\prime }(x)$

如果我们令 $g(x)$ $=$ $f(x)$, 则有：

$f^{\prime }(x)g(x)$ $+$ $f(x)g^{\prime }(x)$ $=$ $f^{\prime }(x)f(x)$ $+$ $f(x)f^{\prime }(x)$ $=$ $f(x)f^{\prime }(x)$ $+$ $f(x)f^{\prime }(x)$ $=$ $2f(x)f^{\prime }(x)$

进一步，我们可以令 $F(x)$ $=$ $f^2(x)$, 则有：

$F^{\prime }(x)$ $=$ $2$ $f(x)f^{\prime }(x)$

由题可知，$f(x)f^{\prime }(x)$ $>$ $0$, 于是有 $F^{\prime }(x)$ $>$ $0$, 即 $F(x)$ 是一个单调递增的函数，由此可得：

$F(1)$ $-$ $F(-1)$ $>$ $0$

即：

$f^2(1)$ $-$ $f^2(-1)$ $>$ $0$ $\Rightarrow$ $f^2(1)$ $>$ $f^2(-1)$ $\Rightarrow$ $|f(1)|$ $>$ $|f(-1)|$

综上可知，正确答案为：$C$.

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