遇到不能用公式的二阶微分方程怎么办:先尝试降为一阶微分方程

一、题目题目 - 荒原之梦

xy=y+xsinyx 的通解是( )

难度评级:

二、解析 解析 - 荒原之梦

首先,本题中的二阶微分方程并不满足 y+p(x)y=q(x) 的形式,因此,不能使用公式 y=[p(x)eq(x) dx dx+C]eq(x) dx 进行求解。

于是,我们先进行降阶,令 p=y, 则:

xy=y+xsinyx

xp=p+xsinpx

x dp dx=p+xsinpx

(1) dp dx=px+sinpx

上式其实是一个 y=f(yx) 形式的齐次微分方程,因此,令:

u=px, p=ux

则:

p=u+x du dx

于是:

 dp dx=px+sinpx

x du dx=sinu

分离变量(下面这段主要是对被积函数 1sinx 的计算):

 dusinu= dxxx

 du2sinu2cosu2= dxx

 du2tanu2cos2u2= dxx

ln|tanu2|=ln|x|+ln|C1|

(2)tanu2=C1x

于是:

u2=arctan(C1x)

且:

p= dy dx=ux

则:

 dy dx=2xarctan(C1x)

积分运算:

y=2xarctan(C1x) dx+C2=

arctan(C1x) d(x2)+C2=

x2arctan(C1x)C1x21+(C1x)2 dx+C2=

x2arctan(C1x)1C11+C12x211+(C1x)2 dx+C2=

x2arctan(C1x)xC1+1C111+(C1x)2 dx+C2=

x2arctan(C1x)xC1+1C11C1arctan(C1x)+C2

于是:

{y=x2arctan(C1x)xC1+1C12arctan(C1x)+C2,C10y=C2,C1=0

其中,C1, C2 为任意常数。


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