遇到不能用公式的二阶微分方程怎么办：先尝试降为一阶微分方程

一、题目

$x{y}^{\prime \prime }=y^{\prime }+x\sin \frac{y^{\prime }}{x}$ 的通解是（ ）

难度评级：

二、解析

首先，本题中的二阶微分方程并不满足 $y^{\prime \prime }+p(x)y^{\prime }=q(x)$ 的形式，因此，不能使用公式 $y=[\int p(x)e^{\int q(x)\mathrm{d}x}\mathrm{d}x+C]\cdot e^{-\int q(x)\mathrm{d}x}$ 进行求解。

于是，我们先进行降阶，令 $p=y^{\prime }$, 则：

$$x{y}^{\prime \prime }=y^{\prime }+x\sin \frac{y^{\prime }}{x}\Rightarrow$$

$$x{p}^{\prime }=p+x\sin \frac{p}{x}\Rightarrow$$

$$x\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}x}=p+x\sin \frac{p}{x}\Rightarrow$$

$$\begin{array}{}\text{(1)}& \frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}x}=\frac{p}{x}+\sin \frac{p}{x}\end{array}$$

上式其实是一个 $y^{\prime }=f(\frac{y}{x})$ 形式的齐次微分方程，因此，令：

$$u=\frac{p}{x},p=ux$$

则：

$$p^{\prime }=u+x\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}\Rightarrow$$

于是：

$$\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}x}=\frac{p}{x}+\sin \frac{p}{x}\Rightarrow$$

$$x\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}=\sin u\Rightarrow$$

分离变量（下面这段主要是对被积函数 $\frac{1}{\sin x}$ 的计算）：

$$\frac{\mathrm{d}u}{\sin u}=\frac{\mathrm{d}x}{xx}\Rightarrow$$

$$\frac{\mathrm{d}u}{2\sin \frac{u}{2}\cos \frac{u}{2}}=\frac{\mathrm{d}x}{x}\Rightarrow$$

$$\frac{\mathrm{d}u}{2\tan \frac{u}{2}{\cos }^2\frac{u}{2}}=\frac{\mathrm{d}x}{x}\Rightarrow$$

$$\ln |\tan \frac{u}{2}|=\ln |x|+\ln \left|C_1\right|\Rightarrow$$

$$\begin{array}{}\text{(2)}& \tan \frac{u}{2}=C_{1}x\end{array}$$

于是：

$$\frac{u}{2}=\arctan (C_{1}x)$$

且：

$$p=\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=ux$$

则：

$$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=2x\arctan \left(C_{1}x\right)\Rightarrow$$

积分运算：

$$y=\int 2x\arctan \left(C_{1}x\right)\mathrm{d}x+C_2=$$

$$\int \arctan \left(C_{1}x\right)\mathrm{d}\left(x^2\right)+C_2=$$

$$x^2\arctan \left(C_{1}x\right)-\int \frac{C_1{x}^2}{1+{\left(C_{1}x\right)}^2}\mathrm{d}x+C_2=$$

$$x^2\arctan \left(C_{1}x\right)–\frac{1}{C_1}\int \frac{1+C_1^2{x}^2-1}{1+{\left(C_{1}x\right)}^2}\mathrm{d}x+C_2=$$

$$x^2\arctan \left(C_{1}x\right)–\frac{x}{C_1}+\frac{1}{C_1}\int \frac{1}{1+{\left(C_{1}x\right)}^2}\mathrm{d}x+C_2=$$

$$x^2\arctan \left(C_{1}x\right)–\frac{x}{C_1}+\frac{1}{C_1}\cdot \frac{1}{C_1}\arctan \left(C_{1}x\right)+C_2$$

于是：

$$\{\begin{array}{ll}y=x^2\arctan \left(C_{1}x\right)-\frac{x}{C_1}+\frac{1}{C_1^2}\arctan \left(C_{1}x\right)+C_2,& C_1\ne 0\\ y=C_2,& C_1=0\end{array}$$

其中，$C_1$, $C_2$ 为任意常数。

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