遇到不能用公式的二阶微分方程怎么办:先尝试降为一阶微分方程 一、题目 xy′′=y′+xsiny′x 的通解是( ) 难度评级: 二、解析 首先,本题中的二阶微分方程并不满足 y′′+p(x)y′=q(x) 的形式,因此,不能使用公式 y=[∫p(x)e∫q(x) dx dx+C]⋅e−∫q(x) dx 进行求解。 于是,我们先进行降阶,令 p=y′, 则: xy′′=y′+xsiny′x⇒ xp′=p+xsinpx⇒ x dp dx=p+xsinpx⇒ (1) dp dx=px+sinpx 上式其实是一个 y′=f(yx) 形式的齐次微分方程,因此,令: u=px, p=ux 则: p′=u+x du dx⇒ 于是: dp dx=px+sinpx⇒ x du dx=sinu⇒ 分离变量(下面这段主要是对被积函数 1sinx 的计算): dusinu= dxxx⇒ du2sinu2cosu2= dxx⇒ du2tanu2cos2u2= dxx⇒ ln|tanu2|=ln|x|+ln|C1|⇒ (2)tanu2=C1x 于是: u2=arctan(C1x) 且: p= dy dx=ux 则: dy dx=2xarctan(C1x)⇒ 积分运算: y=∫2xarctan(C1x) dx+C2= ∫arctan(C1x) d(x2)+C2= x2arctan(C1x)−∫C1x21+(C1x)2 dx+C2= x2arctan(C1x)–1C1∫1+C12x2−11+(C1x)2 dx+C2= x2arctan(C1x)–xC1+1C1∫11+(C1x)2 dx+C2= x2arctan(C1x)–xC1+1C1⋅1C1arctan(C1x)+C2 于是: {y=x2arctan(C1x)−xC1+1C12arctan(C1x)+C2,C1≠0y=C2,C1=0 其中,C1, C2 为任意常数。 考研数学思维导图 高等数学 涵盖高等数学基础概念、解题技巧等内容,图文并茂,计算过程清晰严谨。 线性代数 以独特的视角解析线性代数,让繁复的知识变得直观明了。 特别专题 通过专题的形式对数学知识结构做必要的补充,使所学知识更加连贯坚实。 让考场上没有难做的数学题! 相关文章: 典型例题汇总:不定积分(凑微分、分部积分、一般有理式积分,三角函数有理式积分等) 1989 年考研数二真题解析 典型例题汇总:定积分(奇偶性、几何意义、三角代换、区间再现) 1990 年考研数二真题解析 1992 年考研数二真题解析 1991 年考研数二真题解析 考研数学不定积分补充例题 1987 年考研数二真题解析 1993 年考研数二真题解析:一定要会用微分的方法计算旋转体的体积而不只是套公式 高等数学定积分补充例题(三角代换、扩展的点火公式、区间再现、分部积分、sin 不够用 cos 来凑) 1988 年考研数二真题解析 在一阶微分方程中,哪个变量更“简单”就把哪个变量看做因变量处理 “平方”套“平方”——这类积分你会算吗? 什么情况下牛顿-莱布尼兹公式(定积分)不起作用? 用两种不同的思路解决一道隐函数变量替换的题目 巧用三角函数凑微分,化不同为相同:∫ cos2xcos2x(1+sin2x) dx 计算定积分的神奇武器:区间再现公式(附若干例题) 遇高幂就降幂:∫ 2+x(1+x2)2 dx 当二重积分的积分区域是圆形时一般考虑用极坐标:当这个圆形区域的位置并不标准时,可以考虑平移代换 sin(arctan x) 和 cos(arctan x) 怎么算?一张图让你秒懂! 加加减减,凑凑拆拆:∫ sinxsinx+cosx dx 三角函数凑微分搭配分部积分:∫ 1cos3x dx 集火攻击:多种方法解一道题 三种方法解一道数列极限题 三角函数 sin 与 cos 有理式积分的一般解题思路