伴随矩阵的运算性质你掌握了吗？

一、题目

(A) $\left(\boldsymbol{A}^{*}\right)^{-1}=\frac{1}{|\boldsymbol{A}|} \boldsymbol{A}$

(B) $\left|\boldsymbol{A}^{*}\right|=|\boldsymbol{A}|^{n-1}$

(C) $\left(\boldsymbol{A}^{*}\right)^{*}=|\boldsymbol{A}|^{n-2} \boldsymbol{A}$

(D) $(k \boldsymbol{A})^{*}=k \boldsymbol{A}^{*}$

难度评级：

二、解析

已知伴随矩阵的运算性质如下：

$$
\textcolor{springgreen}{
A^{*}=|A| \cdot A^{-1}
}
$$

于是：

A 选项：

$$
\left(A^{*}\right)^{-1}=\left(|A| \cdot A^{-1}\right)^{-1}=\frac{1}{|A|} A
$$

B 选项：

$$
\left|A^{*}\right|=|| A\left|\cdot A^{-1}\right|=|A|^{n} \cdot \frac{1}{|A|}=|A|^{n-1}
$$

C 选项：

$$
\left(A^{*}\right)^{*}=\left(|A| \cdot A^{-1}\right)^{*}=|| A\left|\cdot A^{-1}\right| \cdot\left(|A| \cdot A^{-1}\right)^{-1} =
$$

$$
|A|^{n-1} \cdot \frac{1}{|A|} \cdot A=|A|^{n-2} \cdot A
$$

D 选项：

$$
(k A)^{*}=|k A| \cdot(k A)^{-1} =
$$

$$
k^{n}|A| \cdot \frac{1}{k} \cdot A^{-1}=
$$

$$
k^{n-1} \cdot|A| \cdot A^{-1}=k^{n-1} \cdot A^{*}
$$

综上可知，本题应选 D

Note

当然，我们也可以利用上面的伴随矩阵运算性质计算伴随矩阵的伴随矩阵，例如（$\boldsymbol{A}$ 为 $n$ 阶矩阵）：

$$
\begin{aligned}
\left( \boldsymbol{A}^{*} \right)^{*} \\ \\
& = \left| |\boldsymbol{A}| \cdot \boldsymbol{A}^{-1} \right| \cdot \left( |\boldsymbol{A}| \cdot \boldsymbol{A} ^{-1} \right) ^{-1} \\ \\
& = |\boldsymbol{A}| ^{n} \cdot \frac{1}{|\boldsymbol{A}|} \cdot \frac{1}{|\boldsymbol{A}|} \cdot \boldsymbol{A} \\ \\
& = |\boldsymbol{A}| ^{n-2} \cdot \boldsymbol{A}
\end{aligned}
$$

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