伴随矩阵的运算性质你掌握了吗？

一、题目

(A) ${\left({\mathit{A}}^{\ast }\right)}^{-1}=\frac{1}{|\mathit{A}|}\mathit{A}$

(B) $\left|{\mathit{A}}^{\ast }\right|=|\mathit{A}{|}^{n-1}$

(C) ${\left({\mathit{A}}^{\ast }\right)}^{\ast }=|\mathit{A}{|}^{n-2}\mathit{A}$

(D) $(k\mathit{A}{)}^{\ast }=k{\mathit{A}}^{\ast }$

难度评级：

二、解析

已知伴随矩阵的运算性质如下：

$$A^{\ast }=|A|\cdot A^{-1}$$

于是：

A 选项：

$${\left(A^{\ast }\right)}^{-1}={(|A|\cdot A^{-1})}^{-1}=\frac{1}{|A|}A$$

B 选项：

$$\left|A^{\ast }\right|=||A|\cdot A^{-1}|=|A{|}^n\cdot \frac{1}{|A|}=|A{|}^{n-1}$$

C 选项：

$${\left(A^{\ast }\right)}^{\ast }={(|A|\cdot A^{-1})}^{\ast }=||A|\cdot A^{-1}|\cdot {(|A|\cdot A^{-1})}^{-1}=$$

$$|A{|}^{n-1}\cdot \frac{1}{|A|}\cdot A=|A{|}^{n-2}\cdot A$$

D 选项：

$$(kA{)}^{\ast }=|kA|\cdot (kA{)}^{-1}=$$

$$k^n|A|\cdot \frac{1}{k}\cdot A^{-1}=$$

$$k^{n-1}\cdot |A|\cdot A^{-1}=k^{n-1}\cdot A^{\ast }$$

综上可知，本题应选 D

Note

当然，我们也可以利用上面的伴随矩阵运算性质计算伴随矩阵的伴随矩阵，例如（$\mathit{A}$ 为 $n$ 阶矩阵）：

$$\begin{array}{r}{\left({\mathit{A}}^{\ast }\right)}^{\ast }\\ \\ & =||\mathit{A}|\cdot {\mathit{A}}^{-1}|\cdot {(|\mathit{A}|\cdot {\mathit{A}}^{-1})}^{-1}\\ \\ & =|\mathit{A}{|}^n\cdot \frac{1}{|\mathit{A}|}\cdot \frac{1}{|\mathit{A}|}\cdot \mathit{A}\\ \\ & =|\mathit{A}{|}^{n-2}\cdot \mathit{A}\end{array}$$

zhaokaifeng.com

---