无界函数没有定积分

一、题目

下列函数在指定区间上不存在定积分的是哪一个？

(A) $f(x)=\{\begin{array}{cl}\sin \frac{1}{x},& x\ne 0,\\ 1,& x=0,\end{array}$ $x\in [-1,1]$

(B) $f(x)=\mathrm{sgn}x=\{\begin{array}{cl}1,& x>0,\\ 0,& x=0,\\ -1,& x<0,\end{array}$ $x\in [a,b]$

(C) $f(x)=\{\begin{array}{cl}\frac{\sin x}{x},& x\ne 0,\\ 1,& x=0,\end{array}$ $x\in [-1,1]$

(D) $f(x)=\{\begin{array}{cc}\tan x,& x\in (-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}),\\ 0,& x=\pm \frac{\pi }{2},\end{array}$ $x\in [-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}]$.

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二、解析

由于 A、B、C 选项中的函数在对应的区间上都是有界且只有有限个间断点的，而 D 选项中的函数在对应的区间上无界，所以 D 选项中的函数不存在定积分。

本题正确选项：D

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