无界函数没有定积分

一、题目

下列函数在指定区间上不存在定积分的是哪一个？

(A) $f(x)=\left\{\begin{array}{cl}\sin \frac{1}{x}, & x \neq 0, \\ 1, & x=0,\end{array}\right.$ $\quad x \in [-1, 1]$

(B) $f(x)=\operatorname{sgn} x=\left\{\begin{array}{cl}1, & x>0, \\ 0, & x=0,\\ -1, & x<0,\end{array}\right.$ $\quad x \in[a, b]$

(C) $f(x)=\left\{\begin{array}{cl}\frac{\sin x}{x}, & x \neq 0, \\ 1, & x=0,\end{array}\right.$ $\quad x \in[-1,1]$

(D) $f(x)=\left\{\begin{array}{cc}\tan x, & x \in\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right), \\ 0, & x= \pm \frac{\pi}{2},\end{array}\right.$ $\quad x \in\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$.

难度评级：

二、解析

由于 A、B、C 选项中的函数在对应的区间上都是有界且只有有限个间断点的，而 D 选项中的函数在对应的区间上无界，所以 D 选项中的函数不存在定积分。

本题正确选项：D

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