1993 年考研数二真题解析：一定要会用微分的方法计算旋转体的体积而不只是套公式

八、证明题 (本题满分 9 分)

设 $f^{\prime }(x)$ 在 $[0,a]$ 上连续, 且 $f(0)=0$, 证明: $|{\int }_0^{a}f(x)\mathrm{d}x|⩽\frac{M{a}^2}{2}$, 其中 $M=\underset{0⩽x⩽a}{max}|f^{\prime }(x)|$.

方法一：拉格朗日

$$x\in (0,a]\Rightarrow$$

$$f(x)=f(x)-f(0)=f^{\prime }(\xi )x,\xi \in (0,x).$$

$$|{\int }_0^{a}f(x)\mathrm{d}x|=|{\int }_0^a{f}^{\prime }(\xi )x\mathrm{d}x|⩽{\int }_0^a|f^{\prime }(\xi )|x\mathrm{d}x$$

$$⩽M{\int }_0^{a}x\mathrm{d}x=\frac{M}{2}{a}^2$$

方法二：

$$x\in [0,a],f(0)=0\Rightarrow$$

$${\int }_0^x{f}^{\prime }(t)\mathrm{d}t=f(x)-f(0)=f(x)$$

$$|f(x)|=|{\int }_0^x{f}^{\prime }(t)\mathrm{d}t|⩽{\int }_0^x|f^{\prime }(t)|\mathrm{d}t⩽$$

$${\int }_0^{x}M\mathrm{d}t=Mx$$

于是：

$$|{\int }_0^{a}f(x)\mathrm{d}x|⩽{\int }_0^a|f(x)|\mathrm{d}x⩽{\int }_0^{a}Mx\mathrm{d}x=\frac{1}{2}M{a}^2$$

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