抛物线的常用性质汇总

一、前言

在考研数学中，有时候会用到抛物线的性质，在本文中，荒原之梦网（zhaokaifeng.com）对常用的抛物线的性质做了一个汇总。

二、正文

如果以 $\mathrm{p}$（其中 $p>0$）为焦准距，则抛物线的标准方程有四个：

$y^{2}=2 p x$ $\quad$ 开口向右
$y^{2}=-2 p x$ $\quad$ 开口向左
$x^{2}=2 p y$ $\quad$ 开口向上
$x^{2}=-2 p y$ $\quad$ 开口向下

如果 $c$ 为焦点到顶点之间距离的绝对值（$c>0$），则：

在抛物线 $y^{2}=4 c x$ 中, 焦点是 $F(c, 0)$, 准线 $l$ 的方程是 $x=-c$（如图 01）
在抛物线 $y^{2}=-4 c x$ 中, 焦点是 $F(-c, 0)$, 准线 $l$ 的方程是 $x=c$（如图 02）
在抛物线 $x^{2}=4 c y$ 中, 焦点是 $F(0, c)$, 准线 $l$ 的方程是 $y=-c$（如图 03）
在抛物线 $x^{2}=-4 c y$ 中, 焦点是 $F(0,-c)$, 准线 $l$ 的方程是 $y=c$（如图 04）

当然，除了上面这些标准的抛物线方程，我们还有一些特殊的抛物线方程，例如，$y^{2} = x – 2$ 也是一个抛物线方程，其可看做是由抛物线 $y^{2} = x$ 根据“左加右减，下加上减”的原则平移得到的（蓝色曲线为 $y^{2} = x – 2$, 橙色曲线为 $y^{2} = x$）：

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