求最小或者最大面积的解题思路：构造函数表达式，求极值并确定是极大值还是极小值

一、题目

已知, 曲线 $y=x^{2}(0 \leqslant x \leqslant 1)$ 上取一点 $\left(t, t^{2}\right)(0<t<1)$, 设 $A_{1}$ 是曲线 $y=x^{2}(0 \leqslant$ $x \leqslant 1)$, 直线 $y=t^{2}$ 和 $x=0$ 围成的面积; $A_{2}$ 是由曲线 $y=x^{2}(0 \leqslant x \leqslant 1)$, 直线 $y=t^{2}$ 和 $x=1$ 围成的面积, 则 $t$ 取 时 $A=A_{1}+A_{2}$ 取最小值.

难度评级：

二、解析

根据题目我们可以绘制出如下示意图：

$$
A_{1}=t \cdot t^{2}-\int_{0}^{t} x^{2} \mathrm{~d} x \Rightarrow
$$

$$
A_{1}=t^{3}-\frac{1}{3} t^{3}=\frac{2}{3} t^{3}
$$

$$
A_{2}=\int_{0}^{1} x^{2} \mathrm{~d} x+A_{1}-t^{2} \cdot 1 \Rightarrow
$$

$$
A_{2}=\frac{1}{3}+\frac{2}{3} t^{3}-t^{2}
$$

$$
A=A_{1}+A_{2}=\frac{4}{3} t^{3}-t^{2}+\frac{1}{3} \Rightarrow
$$

令：

$$
f(t)=\frac{4}{3} t^{3}-t^{2}+\frac{1}{3} \Rightarrow
$$

则：

$$
f^{\prime}(t)=4 t^{2}-2 t \Rightarrow f^{\prime}(t)=0 \Rightarrow
$$

$$
t_{1}=0, t_{2}=\frac{1}{2}
$$

又：

$$
f^{\prime \prime}(t)=8 t-2 \Rightarrow
$$

$$
t_{1}=0 \Rightarrow f^{\prime \prime}\left(t_{1}\right)=-2<0
$$

$$
t_{2}=\frac{1}{2} \Rightarrow f^{\prime \prime}\left(t_{2}\right)=2>0
$$

于是，当 $t = \frac{1}{2}$ 的时候，$A$ 取得最小值。

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