求最小或者最大面积的解题思路：构造函数表达式，求极值并确定是极大值还是极小值

一、题目

已知, 曲线 $y=x^2(0⩽x⩽1)$ 上取一点 $(t,t^2)(0<t<1)$, 设 $A_1$ 是曲线 $y=x^2(0⩽$ $x⩽1)$, 直线 $y=t^2$ 和 $x=0$ 围成的面积; $A_2$ 是由曲线 $y=x^2(0⩽x⩽1)$, 直线 $y=t^2$ 和 $x=1$ 围成的面积, 则 $t$ 取 时 $A=A_1+A_2$ 取最小值.

难度评级：

二、解析

根据题目我们可以绘制出如下示意图：

$$A_1=t\cdot t^2-{\int }_0^t{x}^2\mathrm{d}x\Rightarrow$$

$$A_1=t^3-\frac{1}{3}{t}^3=\frac{2}{3}{t}^3$$

$$A_2={\int }_0^1{x}^2\mathrm{d}x+A_1-t^2\cdot 1\Rightarrow$$

$$A_2=\frac{1}{3}+\frac{2}{3}{t}^3-t^2$$

$$A=A_1+A_2=\frac{4}{3}{t}^3-t^2+\frac{1}{3}\Rightarrow$$

令：

$$f(t)=\frac{4}{3}{t}^3-t^2+\frac{1}{3}\Rightarrow$$

则：

$$f^{\prime }(t)=4t^2-2t\Rightarrow f^{\prime }(t)=0\Rightarrow$$

$$t_1=0,t_2=\frac{1}{2}$$

又：

$$f^{\prime \prime }(t)=8t-2\Rightarrow$$

$$t_1=0\Rightarrow f^{\prime \prime }\left(t_1\right)=-2<0$$

$$t_2=\frac{1}{2}\Rightarrow f^{\prime \prime }\left(t_2\right)=2>0$$

于是，当 $t=\frac{1}{2}$ 的时候，$A$ 取得最小值。

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