一、题目
已知当 $x \rightarrow 0$ 时 $F(x)=\int_{0}^{x-\sin x} \ln (1+t) \mathrm{d} t$ 是 $x^{n}$ 的同阶无穷小，则 $n=?$
难度评级：
二、解析 
小技巧 1：高阶的等价无穷小公式可以通过求导转变为低阶的等价无穷小公式：
$\left(x-\sin x \sim \frac{1}{6} x^{3}\right)^{\prime}$ $\Rightarrow$ $\left(1-\cos x \sim \frac{1}{2} x^{2}\right)$
小技巧 2：等价无穷小的正负可以借助函数图像判断
例如，当 $x \rightarrow 0$ 时，由 $\cos x$ 的函数图像可知 $\cos x<1$, 因此：
$1-\cos x>0$
正式解题步骤：
$$
F(x)=\int_{0}^{x-\sin x} \ln (1+t) d t \Rightarrow
$$
$$
F^{\prime}(x)=(x-\sin x)^{\prime} \cdot \ln (1+x-\sin x) \Rightarrow
$$
$$
F^{\prime}(x)=(1-\cos x) \cdot \ln (1+x-\sin x) \Rightarrow
$$
$$
F^{\prime}(x)=\frac{1}{2} x^{2} \cdot \ln \left(1+\frac{1}{6} x^{3}\right) \Rightarrow
$$
$$
F^{\prime}(x)=\frac{1}{2} x^{2} \cdot \frac{1}{6} x^{3}=\frac{1}{12} x^{5} \Rightarrow
$$
$$
n=5+1=6
$$
注意：
$$
\textcolor{yellow}{
\frac{1}{2} x^{2} \cdot \frac{1}{6} x^{3} \neq \frac{1}{12} x^{6}
}
$$