这里有一个记忆等价无穷小公式的小技巧

一、题目

已知当 $x\to 0$ 时 $F(x)={\int }_0^{x-\sin x}\ln (1+t)\mathrm{d}t$ 是 $x^n$ 的同阶无穷小，则 $n=?$

难度评级：

二、解析

小技巧 1：高阶的等价无穷小公式可以通过求导转变为低阶的等价无穷小公式：
${(x-\sin x\sim \frac{1}{6}{x}^3)}^{\prime }$ $\Rightarrow$ $(1-\cos x\sim \frac{1}{2}{x}^2)$

小技巧 2：等价无穷小的正负可以借助函数图像判断
例如，当 $x\to 0$ 时，由 $\cos x$ 的函数图像可知 $\cos x<1$, 因此：
$1-\cos x>0$

正式解题步骤：

$$F(x)={\int }_0^{x-\sin x}\ln (1+t)dt\Rightarrow$$

$$F^{\prime }(x)=(x-\sin x{)}^{\prime }\cdot \ln (1+x-\sin x)\Rightarrow$$

$$F^{\prime }(x)=(1-\cos x)\cdot \ln (1+x-\sin x)\Rightarrow$$

$$F^{\prime }(x)=\frac{1}{2}{x}^2\cdot \ln (1+\frac{1}{6}{x}^3)\Rightarrow$$

$$F^{\prime }(x)=\frac{1}{2}{x}^2\cdot \frac{1}{6}{x}^3=\frac{1}{12}{x}^5\Rightarrow$$

$$n=5+1=6$$

注意：
$$\frac{1}{2}{x}^2\cdot \frac{1}{6}{x}^3\ne \frac{1}{12}{x}^6$$