无论是一元还是二元函数，只要连续一定可积：连续函数的定积分是一个定值

一、题目

已知， $f (x, y)$ 为连续函数，且 $f (x, y)$ $=$ $\frac{1}{π} \sqrt{x^{2} + y^{2}} \iint_{x^{2} + y^{2} ⩽ 1} f (x, y) d σ + y^{2}$ , 则 $f (x, y) = ?$

难度评级：

令：

$\iint_{x^{2} + y^{2} \leq 1} f (x, y) d σ = A$

$D = x^{2} + y^{2} \leq 1$

则：

$\begin{matrix} (1) & f (x, y) = \frac{A}{π} \sqrt{x^{2} + y^{2}} + y^{2} \end{matrix}$

对 (1) 式两边同时积分：

$\iint_{D} f (x, y) d v = \frac{A}{π} \iint_{D} \sqrt{x^{2} + y^{2}} d σ + \iint_{D} y^{2} d σ \Rightarrow$

$\begin{matrix} (2) & A = \frac{A}{π} \iint_{D} \sqrt{x^{2} + y^{2}} d θ + \iint_{D} y^{2} d σ \end{matrix}$

其中：

$\iint_{D} \sqrt{x^{2} + y^{2}} d v = \int_{0}^{2 π} d θ \int_{0}^{1} r \cdot r d r =$

$\frac{1}{3} \cdot 2 π = \frac{2 π}{3}$

且：

$\iint_{D} y^{2} d θ = \int_{0}^{2 π} d θ \int_{0}^{1} r^{2} \sin^{2} θ \cdot r d r =$

$\int_{0}^{2 π} \sin^{2} θ d θ \int_{0}^{1} r^{3} d r =$

$\frac{1}{4} \cdot 4 \cdot \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin^{2} θ d θ = \frac{π}{2} = \frac{π}{4}$

于是，(2) 式可转化为：

$A = \frac{A}{π} \cdot \frac{2 π}{3} + \frac{π}{4} \Rightarrow$

$A = \frac{2 A}{3} + \frac{π}{4} \Rightarrow \frac{A}{3} = \frac{π}{4} \Rightarrow$

$A = \frac{3 π}{4}$

进而，由 (1) 式可得：

$f (x, y) = \frac{3}{4} \sqrt{x^{2} + y^{2}} + y^{2}$

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