有时候 y(x) 也是个复合函数：是不是复合函数主要看对谁求导

一、题目

已知，$y=y(x)$ 二阶可导，且 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=(4-y) y^{\beta}$ $(\beta>0)$, 若 $y=y(x)$ 的一个拐点是 $\left(x_{0}\right.$, $3)$, 则 $\beta=?$

难度评级：

二、解析

$$
y^{\prime}=(4-y) y^{\beta} \Rightarrow
$$

$$
y^{\prime \prime}=-y^{\prime} y^{\beta}+(4-y) \beta y^{\beta-1} \cdot \textcolor{orangered}{ \mathbf{ y^{\prime} } } \Rightarrow
$$

$$
y^{\prime \prime}=(y-4)\left(y^{2 \beta}+(4-y) \beta y^{\beta-1} \cdot(4-y) y^{\beta} \Rightarrow\right.
$$

$$
x=x_{0} \Rightarrow y=3 \Rightarrow y^{\prime \prime}=0 \Rightarrow
$$

$$
-y^{2 \beta}+\beta y^{\beta-1} \cdot y^{\beta}=0 \Rightarrow
$$

$$
-3^{2 \beta}+\beta 3^{2^{\beta-1}}=0 \Rightarrow
$$

$$
\beta 3^{2^{\beta-1}}=3^{2 \beta} \Rightarrow \beta \cdot 3^{-1}=1 \Rightarrow \beta=3
$$

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