有时候 y(x) 也是个复合函数：是不是复合函数主要看对谁求导

一、题目

已知，$y=y(x)$ 二阶可导，且 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=(4-y)y^{\beta }$ $(\beta >0)$, 若 $y=y(x)$ 的一个拐点是 $(x_0$, $3)$, 则 $\beta =?$

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二、解析

$$y^{\prime }=(4-y)y^{\beta }\Rightarrow$$

$$y^{\prime \prime }=-y^{\prime }{y}^{\beta }+(4-y)\beta y^{\beta -1}\cdot {\mathbf{y}}^{\prime }\Rightarrow$$

$$y^{\prime \prime }=(y-4)(y^{2\beta }+(4-y)\beta y^{\beta -1}\cdot (4-y)y^{\beta }\Rightarrow$$

$$x=x_0\Rightarrow y=3\Rightarrow y^{\prime \prime }=0\Rightarrow$$

$$-y^{2\beta }+\beta y^{\beta -1}\cdot y^{\beta }=0\Rightarrow$$

$$-3^{2\beta }+\beta 3^{2^{\beta -1}}=0\Rightarrow$$

$$\beta 3^{2^{\beta -1}}=3^{2\beta }\Rightarrow \beta \cdot 3^{-1}=1\Rightarrow \beta =3$$

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