用一个一阶线性微分方程构造另一个一阶线性微分方程

一、题目

已知 $P(x),Q(x)$ 在 $(-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty })$ 内连续，且以 $T$ 为周期，函数 $y=y(x)$ 是 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+P(x)y=Q(x)$ 的解，则 $y(0)=y(T)$ 是 $y=y(x)$ 以 $T$ 为周期的充要条件吗？

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二、解析

1. 检查必要性

很明显，若 $y=y(x)$ 以 $T$ 为周期，则一定有：

$$y(0)=y(T)$$

因此，必要性条件满足。

2. 检查充分性

首先，令：

$$\begin{array}{}\text{(1)}& K(x)=y(x+T)-y(x)\end{array}$$

则若在 $y(0)=y(T)$ 的前提下，有：

$$K(x)\equiv 0$$

就能说明 $y(0)=y(T)$ 是 $y=y(x)$ 以 $T$ 为周期的充分条件，否则就不是。

为了求出 $K(x)$ 的表达式，我们需要构造出 $K^{\prime }(x)$, 这样才能利用一阶线性微分方程方程的求解公式计算出 $K(x)$:

Tips:

一阶线性微分方程 $y^{\prime }+p(x)y=q(x)$ 的求解公式为：$y=[\int q(x)\cdot e^{\int p(x)\mathrm{d}x}\mathrm{d}x+C]\cdot e^{-\int p(x)\mathrm{d}x}$

对 $(1)$ 式左右两边同时求导，可得：

$$\begin{array}{}\text{(2)}& K^{\prime }(x)=\frac{\mathrm{d}K(x)}{\mathrm{d}x}=y^{\prime }(x+T)-y^{\prime }(x)\end{array}$$

又由题可知：

$$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+P(x)y=Q(x)\Rightarrow$$

$$y^{\prime }(x)+P(x)y(x)=Q(x)\Rightarrow$$

$$y^{\prime }(x)=Q(x)-P(x)y(x)\Rightarrow$$

$$\begin{array}{}\text{(3)}& y^{\prime }(x+T)=Q(x+T)-P(x+T)y(x+T)\end{array}$$

将 $(3)$ 式代入 $(2)$ 式可得：

$$K^{\prime }(x)=$$

$$Q(x+T)-P(x+T)y(x+T)-Q(x)+P(x)y(x)=P(x)$$

又由于 $Q(x)$ 和 $P(x)$ 以 $T$ 为周期，因此：

$$K^{\prime }(x)=Q(x)-P(x)y(x+T)-Q(x)+P(x)y(x)\Rightarrow$$

$$K^{\prime }(x)=P(x)[y(x)-y(x+T)]\Rightarrow$$

$$K^{\prime }(x)+P(x)[y(x+T)-y(x)]=0\Rightarrow$$

$$K^{\prime }(x)+P(x)\cdot K(x)=0\Rightarrow$$

$$K(x)=[\int 0\cdot e^{\int p(x)\mathrm{d}x}\mathrm{d}x+C]e^{-\int p(x)\mathrm{d}x}\Rightarrow$$

$$K(x)=C{e}^{-\int p(x)\mathrm{d}x}$$

又：

$$K(0)=y(0+T)-y(0)=y(T)-y(0)=0$$

因此：

$$C=0\Rightarrow$$

$$K(x)\equiv 0$$

综上可知，$y(0)=y(T)$ 是 $y=y(x)$ 以 $T$ 为周期的充分必要条件。

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