发散的反常积分不能比较大小：不能确定是否收敛的反常积分也不能比较大小

一、题目

已知 $f(x)$ 与 $g(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内连续，且 $f(x)<g(x)$, 则当 $x \neq 0$ 时，下面的说法中错误的是哪个或哪些？

[1]. $\int_{0}^{x} f(t) \mathrm{~d} t<\int_{0}^{x} g(t) \mathrm{~d} t$

[2]. $\int_{0}^{x^{2}} f(t) \mathrm{~d} t<\int_{0}^{x^{2}} g(t) \mathrm{~d} t$

[3]. $\int_{0}^{+\infty} f(x) \mathrm{~d} x<\int_{0}^{+\infty} g(x) \mathrm{~d} x$

[4]. $\int_{0}^{x^{2}}|f(t)| \mathrm{~d} t<\int_{0}^{x^{2}}|g(t)| \mathrm{~d} t$

难度评级：

二、解析

[1]

当 $x > 0$ 时，$\int_{0}^{x} f(t) \mathrm{~d} t<\int_{0}^{x} g(t) \mathrm{~d} t$ 成立，但是，当 $x<0$ 时，$\int_{0}^{x} f(t) \mathrm{~d} t<\int_{0}^{x} g(t) \mathrm{~d} t$ 并不成立，由于积分上限不一定大于积分下限。

因此，该说法不一定正确。

[2]

由于当 $x \neq 0$ 时，一定有 $x^{2} > 0$, 又 $f(x) < g(x)$, 因此一定有 $\int_{0}^{x^{2}} f(t) \mathrm{~d} t<\int_{0}^{x^{2}} g(t) \mathrm{~d} t$ 成立。

因此，该说法一定正确。

[3]

由于不能确定 $\int_{0}^{+\infty} f(x) \mathrm{~d} x$ 和 $\int_{0}^{+\infty} g(x) \mathrm{~d} x$ 是否都收敛，而不收敛的反常积分是不能比较大小的（因为不知道发散的程度）。

因此，$\int_{0}^{+\infty} f(x) \mathrm{~d} x<\int_{0}^{+\infty} g(x) \mathrm{~d} x$ 不一定成立。

[4]

当 $f(x) < g(x)$ 时，不一定有 $|f(x)| < |g(x)|$, 因此，$\int_{0}^{x^{2}}|f(t)| \mathrm{~d} t<\int_{0}^{x^{2}}|g(t)| \mathrm{~d} t$ 不一定成立。

---