判断一阶导的零点用 1 次罗尔定理，判断二阶导的零点用 2 次罗尔定理

一、题目

已知，函数 $f(x)$ 在 $[1,2]$ 上有二阶导数, $f(2)=0$, $F(x)=(x-1{)}^{2}f(x)$, 请判断 $F^{\prime \prime }(x)$ 在 $(1,2)$ 上的零点情况。

难度评级：

二、解析

$$F(x)=(x-1{)}^{2}f(x)\Rightarrow$$

$$F(1)=(1-1{)}^{2}f(1)=0$$

$$F(2)=(2-1{)}^{2}f(2)=f(2)=0\Rightarrow$$

根据罗尔定理：

$$\mathrm{\exists }{\xi }_1\in (1,2)\Rightarrow F^{\prime }\left({\xi }_1\right)=0$$

又：

$$F^{\prime }(x)=2(x-1)f(x)+(x-1{)}^2{f}^{\prime }(x)\Rightarrow$$

$$F^{\prime }(1)=0+0=0F^{\prime }(2)=2f(2)+f^{\prime }(2)=f^{\prime }(2)$$

根据罗尔定理：

$$\xi \in (1,{\xi }_1)\Rightarrow F^{\prime \prime }(\xi )=0$$

于是可知，$F^{\prime }(x)$ 至少有一个零点——

如果 $f^{\prime }(2)=0$, 则还会存在另一个零点。

因此，函数 $F^{\prime }(x)$ 至少存在一个零点，或者说必有零点。

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