当系数矩阵与增广矩阵的秩相等且等于未知数的个数时：对应的非齐次线性方程组有唯一解

一、题目

已知，线性方程组 $\{\begin{array}{c}{x}_1-\lambda x_2-2x_3=-1\\ x_1-x_2+\lambda x_3=2\\ 5x_1-5x_2-4x_3=\lambda \end{array}$ 有唯一解，则 $\lambda$ 满足什么条件？

难度评级：

二、解析

Tips:

当系数矩阵 $A$ 和其增广矩阵 $(A,b)$ 满足 $r(A)=r(A,b)=n$ 的时候对应的非齐次线性方程组有且只有一个解（其中，”$n$” 是该方程组中未知数的个数，也就是 $A$ 中列的个数）。

已知：

$$A=\left[\begin{array}{ccc}1& -\lambda & -2\\ 1& -1& \lambda \\ 5& -5& \lambda \end{array}\right]$$

且：

$$(A,b)=\left[\begin{array}{cccc}1& -\lambda & -2& -1\\ 1& -1& \lambda & 2\\ 5& -5& -4& \lambda \end{array}\right]$$

又：

$$(A,b)=\left[\begin{array}{cccc}1& -\lambda & -2& -1\\ 1& -1& \lambda & 2\\ 5& -5& -4& \lambda \end{array}\right]\Rightarrow$$

$$(A,b)=\left[\begin{array}{cccc}1& -\lambda & -2& -1\\ 0& \lambda -1& \lambda +2& 3\\ 0& 5\lambda -5& 6& \lambda +5\end{array}\right]\Rightarrow$$

$$(A,b)=\left[\begin{array}{cccc}1& -\lambda & -2& -1\\ 0& \lambda -1& \lambda +2& 3\\ 0& 0& -5\lambda -4& \lambda -10\end{array}\right]$$

为了使 $r(A)=3$, 必须有：

$$-5\lambda –4\ne 0\Rightarrow \lambda \ne \frac{-4}{5}$$

为了使 $r(A,b)=3$, 必须有：

$$\{\begin{array}{ll}& \lambda –1\ne k\cdot 0\\ & \lambda +2\ne k\cdot (-5\lambda -4)\\ & 3\ne k\cdot (\lambda –10)\end{array}\Rightarrow \lambda \ne 1$$

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