已知特征值求矩阵中未知数时就不要想着怎么凑出来简化版的求特征值的式子了

一、题目

已知 $-2$ 是矩阵 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{ccc}0 & -2 & -2 \\ 2 & x & -2 \\ -2 & 2 & 6\end{array}\right]$ 的特征值，则 $x=?$

难度评级：

二、解析

$$
|\lambda E-A| = 0 \Rightarrow
$$

$$
\left|\begin{array}{ccc}\lambda & 2 & 2 \\ -2 & \lambda-x & 2 \\ 2 & -2 & \lambda-6\end{array}\right|=0 \Rightarrow
$$

$$
\left|\begin{array}{ccc}\lambda+2 & 0 & \lambda-6 \\ -2 & \lambda-x & 2 \\ 0 & \lambda-x-2 & \lambda-4\end{array}\right|=0 \Rightarrow
$$

$$
\left|\begin{array}{ccc}\lambda+2 & 0 & 2 \lambda-4 \\ -2 & \lambda-x & 0 \\ 0 & \lambda-x-2 & \lambda-4\end{array}\right| = 0 \Rightarrow
$$

$$
(\lambda+2)(\lambda-x)(\lambda-4)-2(2 \lambda – 4)(\lambda-x-2) = 0
$$

Tips:

其实下面这一步的化简已经不必要了，因为我们还没有代入 $\lambda$ 的值，我们的目的也不是求解 $\lambda$ 的值。

$$
(\lambda+2)(\lambda-x)(\lambda-4)-4(\lambda-2)(\lambda-x-2) = 0 \tag{1}
$$

当 $\lambda = -2$ 时，由 $(1)$ 式得：

$$
-4 \times(-4)(-4-x)=0 \Rightarrow
$$

$$
-16(4+x)=0 \Rightarrow
$$

$$
x=-4
$$

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