最值点处导函数的性质汇总

一、题目

已知 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 可导, $f(a)=\max _{[a, b]} f(x)$, 则 $f^{\prime}(a)$ 与 $0$ 之间存在怎么样的关系？

难度评级：

二、解析

方法一：几何意义

首先，$f(a)=\max _{[a, b]} f(x)$ 的含义是 $f(a)$ 是函数 $f(x)$ 在区间 $[a, b]$ 上的最大值，也就是说，函数 $f(x)$ 在端点 $x = a$ 处取得极大值——

因此，其左右两侧邻域内的值要么小于该点处的函数，要么等于该点处的函数值——

在 $x = a$ 点左侧，函数值有增加的趋势，因此：$f^{\prime}_{-}(a) \geqslant 0$;

在 $x = a$ 点右侧，函数值有减少的趋势，因此：$f^{\prime}_{+}(a) \leqslant 0$.

方法二：一点处导数的定义

$$
f_{+}^{\prime}(a)=\lim \limits_{x \rightarrow a^{+}} \frac{f(x)-f(a)}{x-a} \Rightarrow
$$

$$
\lim \limits_{x \rightarrow a^{+}} f(x) \leqslant f(a) \Rightarrow
$$

$$
\lim \limits_{x \rightarrow a^{+}} f(x)-f(a) \leqslant 0
$$

$$
\lim \limits_{x \rightarrow a^{+}}(x-a) \geqslant 0 \Rightarrow
$$

$$
\lim \limits_{x \rightarrow a^{+}} \frac{f(x)-f(a)}{x-a} \leqslant 0 \Rightarrow
$$

$$
f_{+}^{\prime}(a) \leqslant 0
$$

总结

若当 $x \in[a, b]$ 时，$f(x)$ 可到，且 $f(c)=\max _{[a, b]} f(x)$ 或者 $f(c)=\min _{[a, b]} f(x)$，则：

Tips:

大家可以根据一阶导所代表的几何意义辅助理解下面的结论。

(1) 当 $c \in(a, b)$ 时：

$$
f^{\prime}(c)=0
$$

(2) 当 $c=a$ 时：

$$
f(a)=\max _{[a, b]} f(x) \Rightarrow f_{+}^{\prime}(a) \leqslant 0
$$

$$
f(a)=\min _{[a, b]} f(x) \Rightarrow f_{+}^{\prime}(a) \geqslant 0
$$

(3) 当 $c=b$ 时：

$$
f(b)=\max _{[a, b]} f(x) \Rightarrow f_{-}^{\prime}(b) \geqslant 0
$$

$$
f(b)=\min _{[a, b]} f(x) \Rightarrow f_{-}^{\prime}(b) \leqslant 0
$$

---