最值不一定产生于极值点处

一、题目

已知 $f(x)=a{x}^3-6a{x}^2+b$ 在区间 $[-1,2]$ 上的最大值是 $3$, 最小值是 $-29$, 且 $a>0$, 则 $a=?$, $b=?$

难度评级：

二、解析

$$f^{\prime }(x)=3a{x}^2-12ax$$

$$f^{\prime \prime }(x)=6ax-12a$$

$$f^{\prime }(x)=0\Rightarrow x_1=0,x_2=4$$

$$f^{\prime \prime }(x)=0\Rightarrow x=2$$

根据如上信息，我们可以绘制出如下示意图：

如上图，由于 $2$ 和 $0$ 的距离比 $-1$ 和 $0$ 的距离大，且 $-1$ 和 $2$ 都处在函数的下降趋势上，因此，$2$ 对应的函数值一定小于 $-1$ 对应的函数值，又由 $a>0$ 可知，几乎可以确定 $x=2$ 对应函数的最小值 $-29$.

验证如下：

$$x=0\Rightarrow f(x)=b=3$$

$$x=2\Rightarrow f(x)=8a-24a+3=-29\Rightarrow$$

$$-16a=-32\Rightarrow$$

$$a=2(a>0)$$

综上可知：

$$a=2,b=3$$

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