最值不一定产生于极值点处

一、题目

已知 $f(x)=a x^{3}-6 a x^{2}+b$ 在区间 $[-1,2]$ 上的最大值是 $3$, 最小值是 $-29$, 且 $a>0$, 则 $a = ?$, $b = ?$

难度评级：

二、解析

$$
f^{\prime}(x)=3 a x^{2}-12 a x
$$

$$
f^{\prime \prime}(x)=6 a x-12 a
$$

$$
f^{\prime}(x)=0 \Rightarrow x_{1}=0, \quad x_{2}=4
$$

$$
f^{\prime \prime}(x)=0 \Rightarrow x=2
$$

根据如上信息，我们可以绘制出如下示意图：

如上图，由于 $2$ 和 $0$ 的距离比 $-1$ 和 $0$ 的距离大，且 $-1$ 和 $2$ 都处在函数的下降趋势上，因此，$2$ 对应的函数值一定小于 $-1$ 对应的函数值，又由 $a>0$ 可知，几乎可以确定 $x = 2$ 对应函数的最小值 $-29$.

验证如下：

$$
x=0 \Rightarrow f(x)=b=3
$$

$$
x=2 \Rightarrow f(x)=8 a-24 a+3=-29 \Rightarrow
$$

$$
-16 a=-32 \Rightarrow
$$

$$
a=2 \quad(a>0)
$$

综上可知：

$$
a=2, \quad b=3
$$

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