真真假假，眼花缭乱：你知道哪一个条件和二元函数可微有关系吗？

一、题目

已知 $f(x,y)$ 在 $(0,0)$ 处连续，则下列命题正确的是哪个？

(A) 若极限 $\underset{\begin{array}{c}x\to 0\\ y\to 0\end{array}}{lim}\frac{f(x,y)}{x^2+y^2}$ 存在，则 $f(x,y)$ 在 $(0,0)$ 处可微

(B) 若极限 $\underset{\begin{array}{c}x\to 0\\ y\to 0\end{array}}{lim}\frac{f(x,y)}{|x|+|y|}$ 存在，则 $f(x,y)$ 在 $(0,0)$ 处可微

(C) 若 $f(x,y)$ 在 $(0,0)$ 处可微，则 $\underset{\begin{array}{c}x\to 0\\ y\to 0\end{array}}{lim}\frac{f(x,y)}{x^2+y^2}$ 存在

(D) 若 $f(x,y)$ 在 $(0,0)$ 处可微，则 $\underset{\begin{array}{c}x\to 0\\ y\to 0\end{array}}{lim}\frac{f(x,y)}{|x|+|y|}$ 存在

难度评级：

二、解析

Tips:

本文要用到的相关基础知识可以查看：《判断二元函数是否可微的定义公式太长记不住？其实你已经记住了！》

方法一：直接判断

本文正确选项为 (A), 原因如下：

由于：

$$\underset{\begin{array}{c}x\to 0\\ y\to 0\end{array}}{lim}\frac{f(x,y)}{x^2+y^2}\text{ 存在 }$$

且：

$$\underset{\begin{array}{c}x\to 0\\ y\to 0\end{array}}{lim}(x^2+y^2)=0$$

因此：

$$\underset{\begin{array}{c}x\to 0\\ y\to 0\end{array}}{lim}f(x,y)=0$$

又因为 $f(x,y)$ 在点 $(0,0)$ 处连续，因此：

$$\underset{\begin{array}{c}x\to 0\\ y\to 0\end{array}}{lim}f(x,y)=f(0,0)=0$$

接着：

$$\underset{\begin{array}{c}x\to 0\\ y\to 0\end{array}}{lim}\frac{f(x,y)}{x^2+y^2}=\underset{\begin{array}{c}x\to 0\\ y\to 0\end{array}}{lim}\frac{f(x,y)}{\sqrt{x^2+y^2}}\cdot \underset{\begin{array}{c}x\to 0\\ y\to 0\end{array}}{lim}\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}$$

又：

$$\underset{\begin{array}{c}x\to 0\\ y\to 0\end{array}}{lim}\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}=\mathrm{\infty }$$

所以一定有：

$$\begin{array}{}\text{(1)}& \underset{\begin{array}{c}x\to 0\\ y\to 0\end{array}}{lim}\frac{f(x,y)}{\sqrt{x^2+y^2}}=0\end{array}$$

即 $f(x,y)$ 是 $\sqrt{x^2+y^2}$ 的高阶无穷小。

(1) 式也可以写成如下形式：

$$\underset{\begin{array}{c}\mathrm{\Delta }x\to 0\\ \mathrm{\Delta }y\to 0\end{array}}{lim}\frac{f(\mathrm{\Delta }x,\mathrm{\Delta }y)}{\sqrt{\mathrm{\Delta }{x}^2+\mathrm{\Delta }{y}^2}}=0$$

因此，有：

$$f(x,y)=0\cdot \mathrm{\Delta }x+0\cdot \mathrm{\Delta }y+o(\phi )$$

综上可知，函数 $f(x,y)$ 在点 $(0,0)$ 处可微。

方法二：举反例

对于 (B) 选项，可令：

$$f(x,y)=|x|+|y|$$

则可知，满足 “$\underset{\begin{array}{c}x\to 0\\ y\to 0\end{array}}{lim}\frac{f(x,y)}{|x|+|y|}$ 存在” 这一条件，但是：

$$f(x,0)=|x|\Rightarrow f_x^{\prime }(0,0)\Rightarrow \text{不存在}$$

对于 (C), (D) 选项，可令：

$$f(x,y)\equiv 1$$

则可知，函数 $f(x,y)$ 在 $(0,0)$ 点处可微，但是：

$$\underset{\begin{array}{c}x\to 0\\ y\to 0\end{array}}{lim}\frac{f(x,y)}{|x|+|y|}=\mathrm{\infty }\Rightarrow \text{不存在}$$

$$\underset{\begin{array}{c}x\to 0\\ y\to 0\end{array}}{lim}\frac{f(x,y)}{x^2+y^2}=\mathrm{\infty }\Rightarrow \text{不存在}$$

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