真真假假,眼花缭乱:你知道哪一个条件和二元函数可微有关系吗?

一、题目题目 - 荒原之梦

已知 f(x,y)(0,0) 处连续,则下列命题正确的是哪个?

(A) 若极限 limx0y0f(x,y)x2+y2 存在,则 f(x,y)(0,0) 处可微

(B) 若极限 limx0y0f(x,y)|x|+|y| 存在,则 f(x,y)(0,0) 处可微

(C) 若 f(x,y)(0,0) 处可微,则 limx0y0f(x,y)x2+y2 存在

(D) 若 f(x,y)(0,0) 处可微,则 limx0y0f(x,y)|x|+|y| 存在

难度评级:

二、解析 解析 - 荒原之梦

Tips:

本文要用到的相关基础知识可以查看:《判断二元函数是否可微的定义公式太长记不住?其实你已经记住了!

方法一:直接判断

本文正确选项为 (A), 原因如下:

由于:

limx0y0f(x,y)x2+y2 存在 

且:

limx0y0(x2+y2)=0

因此:

limx0y0f(x,y)=0

又因为 f(x,y) 在点 (0,0) 处连续,因此:

limx0y0f(x,y)=f(0,0)=0

接着:

limx0y0f(x,y)x2+y2=limx0y0f(x,y)x2+y2limx0y01x2+y2

又:

limx0y01x2+y2=

所以一定有:

(1)limx0y0f(x,y)x2+y2=0

f(x,y)x2+y2 的高阶无穷小。

(1) 式也可以写成如下形式:

limΔx0Δy0f(Δx,Δy)Δx2+Δy2=0

因此,有:

f(x,y)=0Δx+0Δy+o(φ)

综上可知,函数 f(x,y) 在点 (0,0) 处可微。

方法二:举反例

对于 (B) 选项,可令:

f(x,y)=|x|+|y|

则可知,满足 “limx0y0f(x,y)|x|+|y| 存在” 这一条件,但是:

f(x,0)=|x|fx(0,0)不存在

对于 (C), (D) 选项,可令:

f(x,y)1

则可知,函数 f(x,y)(0,0) 点处可微,但是:

limx0y0f(x,y)|x|+|y|=不存在

limx0y0f(x,y)x2+y2=不存在


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