一点处的（偏）导数存在不能说明该（偏）导数在该点处连续：要让一点处导数存在只需要有“两个点”，但若要导数在一点处连续需要有“无数个致密的点”

一、题目

下面的函数的一阶导函数在点 $x=0$ 处连续吗？

$$f(x)=\{\begin{array}{ccc}& x^2\cdot \sin \left(\frac{1}{x}\right),& x\ne 0\\ & 0,& x=0\end{array}$$

难度评级：

二、解析

Tips:

1. 本题是一元函数在一点处的导数存在但该导数在该点处不连续的例题，同样的，二元函数的偏导数在一点处存在也不意味着该偏导数在该点处一定连续；
2. 根据《可微可导连续“三角恋”》这篇文章中所表达的观点，由于只有两点才能确定一条直线，因此，一点处的导数其实是由两个点确定的“割线”，只不过在极限的情况下，这两个点距离无限近，可以看作一个点，“割线”也就变成了“切线”。但是，如果要在一点处连续，那么在该点的邻域内必须存在无数个致密的点，这样的要求显然远高于一点处导数存在的条件。
   可导必连续说的是原函数连续，而不是导函数连续。

已知：

$$f(x)=\{\begin{array}{ccc}& x^2\cdot \sin \left(\frac{1}{x}\right),& x\ne 0\\ & 0,& x=0\end{array}$$

当 $x=0$ 时：

$$f^{\prime }(0)=\underset{x\to 0}{lim}\frac{x^2\cdot \sin \left(\frac{1}{x}\right)-0}{x-0}=\underset{x\to 0}{lim}x\sin \left(\frac{1}{x}\right)=0$$

当 $x\ne 0$ 时：

$$f^{\prime }(x)=2x\cdot \sin \left(\frac{1}{x}\right)+x^2\cdot \cos \left(\frac{1}{x}\right)\cdot \frac{-1}{x^2}\Rightarrow$$

$$f^{\prime }(x)=2x\cdot \sin \left(\frac{1}{x}\right)-\cos \left(\frac{1}{x}\right)\Rightarrow$$

$$f^{\prime }(x)=0-\cos \left(\frac{1}{x}\right)\Rightarrow$$

$$\underset{x\to 0}{lim}{f}^{\prime }(x)\Rightarrow \text{极限不存在}$$

综上可知，分段函数 $f(x)$ 的导函数在点 $x=0$ 处不连续。

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