二元函数偏导数不存在的一个简单的例题：通过一点处导数的公式判断一阶偏导数不存在

一、题目

已知：

$$
f(x, y)=\left\{\begin{array}{c}x \cdot \sin \frac{1}{x^{2}+y^{2}},(x, y) \neq(0,0) \\ 0,(x, y)=(0,0)\end{array}\right.
$$

则函数 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处的偏导数 $f^{\prime}_{x}(0,0)$ 存在吗？

难度评级：

二、解析

对于二元函数而言，要求解关于 $x$ 在点 $(a,b)$ 处的偏导数，则就与 $y$ 无关，因此，先令 $y=b$, 得到 $f^{\prime}_{x}(x, b)$. 接着，如果我们要求解函数 $f$ 在 $x=a$ 这一点处关于 $x$ 的偏导数，则就是求解 $f^{\prime}_{x} (a, b)$:

$$
f_{x}^{\prime}(0,0)=\lim \limits_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f(0+\Delta x)-f(0,0)}{\Delta x}=
$$

$$
\lim \limits_{\Delta x \rightarrow 0}=\frac{f(\Delta x, 0)}{\Delta x}=
$$

$$
\lim \limits_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta x \cdot \sin \frac{1}{\Delta x^{2}}}{\Delta x} =
$$

$$
\lim \limits_{\Delta x \rightarrow 0} \sin \frac{1}{\Delta x^{2}} \Rightarrow \text{极限不存在}
$$

总结

其实，求解二元函数的偏导数和求解一元函数的导数几乎是一样的，所不同的是，在求解二元函数关于 $x$ 的偏导数时，我们需要将 $y$ 看作常数处理，求解二元函数关于 $y$ 的偏导数时，我们需要将 $x$ 看作常数处理——同时，如果求解的是关于某个具体的点的偏导数，我们可以直接在进行导数求解运算之前将对应的被看作常数的变量在该点处的具体数值代入表达式。

下面是一点处导数的定义：

设函数 $f(x)$ 在点 $x_{0}$ 的某个邻域内（注意：不是“去心邻域”）有定义，如果极限：

$$
\lim \limits_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f\left(x_{0}+\Delta x\right)-f\left(x_{0}\right)}{\Delta x} \text { 或 } \lim \limits_{x \rightarrow x_{0}} \frac{f(x)-f\left(x_{0}\right)}{x-x_{0}}
$$

存在，则称函数 $f(x)$ 在 $x_{0}$ 点可导，并称上面的极限为函数 $f(x)$ 在 $x_{0}$ 点 处的导数，记作 $f^{\prime}\left(x_{0}\right)$, 即：

$$
f^{\prime}\left(x_{0}\right)=\lim \limits_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f\left(x_{0}+\Delta x\right)-f\left(x_{0}\right)}{\Delta x}
$$

或：

$$
f^{\prime}\left(x_{0}\right)=\lim \limits_{x \rightarrow x_{0}} \frac{f(x)-f\left(x_{0}\right)}{x-x_{0}}
$$

其中，只有当（一点处的左导数和右导数相等）：

$$
\lim \limits_{\Delta x \rightarrow 0^{+}} \frac{f\left(x_{0}+\Delta x\right)-f\left(x_{0}\right)}{\Delta x} = \lim \limits_{\Delta x \rightarrow 0^{-}} \frac{f\left(x_{0}+\Delta x\right)-f\left(x_{0}\right)}{\Delta x}
$$

或：

$$
\lim \limits_{x \rightarrow x_{0}^{+} } \frac{f(x)-f\left(x_{0}\right)}{x-x_{0}} = \lim \limits_{x \rightarrow x_{0}^{-} } \frac{f(x)-f\left(x_{0}\right)}{x-x_{0}}
$$

时，才能说明导数 $f^{\prime}(x_{0})$ 存在。

由上面的定义可知，虽然我们判断的是一点处的导数是否存在，但需要用到该点左右两侧邻域的极限——当然，根据《可微、可导和连续的“三角恋”关系剖析》这篇文章也可以形象化的理解为：世界上根本就不存在真正的一点处的导数，因为仅凭一个点是没办法确定一条直线的，所谓的导数对应的切线其实与函数图像存在两个交点，只是在极限的情况下，这两个交点距离非常非常近，可以看作一个点了。

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