二元函数偏导数的连续性可以被直接证明吗？当然可以！

一、题目

已知 $f(x,y)=\{\begin{array}{cc}\frac{x^4-y^4}{x^2+y^2},& x^2+y^2\ne 0\\ 0,& x^2+y^2=0,\end{array}$ 则 $f(x,y)$ 在点 $(0,0)$ 处偏导数存在吗？偏导数连续吗？可微吗？

难度评级：

二、解析

一、证明偏导数存在

首先，我们来证明函数 $f(x,y)$ 在点 $(0,0)$ 处的偏导数存在：

函数在一点处连续，该点处可导的前提，在本题中，很显然 $f(x,y)$ 在点 $(0,0)$ 处是连续的：

$$\underset{\begin{array}{c}x\to 0\\ y\to 0\end{array}}{lim}\frac{x^4-y^4}{x^2+y^2}=$$

$$\underset{\begin{array}{c}x\to 0\\ y\to 0\end{array}}{lim}\frac{(x^2+y^2)(x^2-y^2)}{x^2+y^2}=$$

$$\underset{\begin{array}{c}x\to 0\\ y\to 0\end{array}}{lim}(x^2-y^2)=0-0=0.$$

Tips:

求解二元函数 $K(x,y)$ 在点 $(x_0,y_0)$ 处的偏导数 $K_x^{\prime }$ 时，先把 $y=y_0$ 代入，之后的步骤就和一元函数求导一样。

类似的，求解偏导数 $K_y^{\prime }$ 前，也是先把 $x=x_0$ 代入 $K(x,y)$ 的表达式。

求偏导数 $f_x^{\prime }$ 的表达式时，可以令 $y=0$, 则：

$$f(x,0)=x^2\Rightarrow f_x^{\prime }(x,0)=2x\Rightarrow$$

$$f_x^{\prime }(0,0)=0$$

同样的，求偏导数 $f_y^{\prime }$ 的表达式时，可以令 $x=0$, 则：

$$f(0,y)=-y^2\Rightarrow f_y^{\prime }(0,y)=-2y\Rightarrow$$

$$f_y^{\prime }(0,0)=0$$

由于 $f_x^{\prime }(x,0)$ $f_y^{\prime }(0,y)$ 都是可导的，$x$ 和 $y$ 在点 $(0,0)$ 处也有定义，因此，函数 $f(x,y)$ 在点 $(0,0)$ 处的偏导数存在。

二、证明偏导数连续（即可微）

接下来，我们开始证明偏导数在点 $(0,0)$ 处连续。

首先，求解出当 $x^2+y^2\ne 0$ 时的偏导数表达式：

$$f_x^{\prime }=\frac{4x^3(x^2+y^2)-(x^4-y^4)\cdot 2x}{{(x^2+y^2)}^2}$$

$$f_y^{\prime }=\frac{-4y^3(x^2+y^2)-(x^4-y^4)\cdot 2y}{{(x^2+y^2)}^2}$$

但是，由于二元函数的偏导数中存在两个变量，有无数条趋近于某点的路径，因此，我们没办法直接证明偏导数连续——我们需要借助放缩的原理，对当 $x^2+y^2\ne 0$ 时的偏导数 $f_x^{\prime }$ 和 $f_y^{\prime }$ 进行化简：

$$f_x^{\prime }=\frac{4x^3(x^2+y^2)-(x^4-y^4)\cdot 2x}{{(x^2+y^2)}^2}=$$

$$\frac{4x^3}{x^2+y^2}-\frac{2x(x^2-y^2)}{x^2+y^2}\Rightarrow$$

$$f_x^{\prime }=4x\cdot \frac{x^2}{x^2+y^2}-2x\cdot \frac{x^2}{x^2+y^2}+2x\cdot \frac{y^2}{x^2+y^2}$$

$$f_y^{\prime }=\frac{-4y^3(x^2+y^2)-(x^4-y^4)\cdot 2y}{{(x^2+y^2)}^2}=$$

$$-4y\frac{y^2}{x^2+y^2}-\frac{(x^2-y^2)\cdot 2y}{x^2+y^2}\Rightarrow$$

$$f_y^{\prime }=-4y\frac{y^2}{x^2+y^2}-2y\frac{x^2}{x^2+y^2}+2y\frac{y^2}{x^2+y^2}$$

又由于：

$$\frac{x^2}{x^2+y^2}\le 1,\frac{y^2}{x^2+y^2}\le 1$$

因此：

$$\left|f_x^{\prime }\right|⩽4|x|+2|x|+2|x|=8|x|\to 0$$

$$\left|f_y^{\prime }\right|⩽4|y|+2|y|+2|y|=8|y|\to 0$$

于是：

$$\underset{\begin{array}{c}x\to 0\\ y\to 0\end{array}}{lim}{f}_x^{\prime }=0\underset{\begin{array}{c}x\to 0\\ y\to 0\end{array}}{lim}{f}_y^{\prime }=0$$

进而可知，偏导数 $f_x^{\prime }$ 和 $f_y^{\prime }$ 在点 $(0,0)$ 附近的极限值等于该点处的函数值，即：

$$\underset{\begin{array}{c}x\to 0\\ y\to 0\end{array}}{lim}{f}_x^{\prime }(x,y)=f_x^{\prime }(0,0)=0$$

$$\underset{\begin{array}{c}x\to 0\\ y\to 0\end{array}}{lim}{f}_y^{\prime }(x,y)=f_y^{\prime }(0,0)=0$$

于是，偏导数 $f_x^{\prime }$ 和 $f_y^{\prime }$ 在点 $(0,0)$ 处连续，因此，函数 $f(x,y)$ 在点 $(0,0)$ 处可微。

综上可知，函数 $f(x,y)$ 在点 $(0,0)$ 处偏导数存在且可微。

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