这道题斜率和切点坐标都不知道！怎么计算？

一、题目

已知曲线 $y=\ln x$ 与曲线 $y=k\sqrt{x}$ 在点 $(x_0,y_0)$ 处有公切线，则常数 $k$ 与切点分别为多少？

难度评级：

二、解析

$$(\ln x{)}^{\prime }=\frac{1}{x}\Rightarrow x=x_0\Rightarrow K_1=\frac{1}{x_0}$$

$${\left(k{x}^{\frac{1}{2}}\right)}^{\prime }=\frac{1}{2}k{x}^{\frac{-1}{2}}\Rightarrow x=x_0\Rightarrow K_2=\frac{1}{2}k{x}_0^{\frac{-1}{2}}$$

于是：

$$K_1=K_2\Rightarrow$$

$$\frac{1}{x_0}=\frac{k}{2}\frac{1}{\sqrt{x_0}}\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{x_0}}=\frac{k}{2}\Rightarrow$$

$$k=\frac{2}{\sqrt{x_0}}$$

$$\ln x_0=k\sqrt{x_0}\Rightarrow \{\begin{array}{l}k=\frac{2}{\sqrt{x_0}}\\ \ln x_0=k\sqrt{x_0}\end{array}\Rightarrow$$

$$\ln x_0=2\Rightarrow x_0=e^2\Rightarrow k=\frac{2}{e}$$

$$y=2$$

综上：

$$k=\frac{2}{e}$$

$$(x_0,y_0)=(e^2,2)$$

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