这道题斜率和切点坐标都不知道！怎么计算？

一、题目

已知曲线 $y=\ln x$ 与曲线 $y=k \sqrt{x}$ 在点 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 处有公切线，则常数 $k$ 与切点分别为多少？

难度评级：

二、解析

$$
(\ln x)^{\prime}=\frac{1}{x} \Rightarrow x=x_{0} \Rightarrow K_{1}=\frac{1}{x_{0}}
$$

$$
\left(k x^{\frac{1}{2}}\right)^{\prime}=\frac{1}{2} k x^{\frac{-1}{2}} \Rightarrow x=x_{0} \Rightarrow K_{2}=\frac{1}{2} k x_{0}^{\frac{-1}{2}}
$$

于是：

$$
K_{1}=K_{2} \Rightarrow
$$

$$
\frac{1}{x_{0}}=\frac{k}{2} \frac{1}{\sqrt{x_{0}}} \Rightarrow \frac{1}{\sqrt{x_{0}}}=\frac{k}{2} \Rightarrow
$$

$$
k=\frac{2}{\sqrt{x_{0}}}
$$

$$
\ln x_{0}=k \sqrt{x_{0}} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}k=\frac{2}{\sqrt{x_{0}}} \\ \ln x_{0}=k \sqrt{x_{0}}\end{array} \Rightarrow\right.
$$

$$
\ln x_{0}=2 \Rightarrow x_{0}=e^{2} \Rightarrow k=\frac{2}{e}
$$

$$
y=2
$$

综上：

$$
k = \frac{2}{e}
$$

$$
(x_{0}, y_{0}) = (e^{2}, 2)
$$

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