不同函数一阶导之间的大小与这个这些函数原函数之间的大小没有任何关系

一、题目

已知，函数 $f(x)$ 与 $g(x)$ 在 $(a,b)$ 上可导，则以下论述正确的是哪个？

(1) 若 $f(x)>g(x)$, 则 $f^{\prime }(x)>g^{\prime }(x)$;

(2) 若 $f^{\prime }(x)>g^{\prime }(x)$ 则 $f(x)>g(x)$.

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二、解析

解法一：画图法

如下图（图 01）所示，$f(x)>g(x)$, 但是 $f^{\prime }(x)<0$, $g^{\prime }(x)>0$, 所以 $f^{\prime }(x)<g^{\prime }(x)$:

如下图（图 02）所示，$f(x)$ 的增长率大于 $g(x)$, 所以 $f^{\prime }(x)>g^{\prime }(x)$, 但是，$g(x)>f(x)$:

综上，论述 (1) 和 (2) 都不对。

解法二：反例法（特例）

对于第 (1) 个论述：

$$f(x)=e^{-x},g(x)=-e^{-x}\Rightarrow$$

$$f(x)>g(x)$$

$$f^{\prime }(x)=-e^{-x},g^{\prime }(x)=e^{-x}\Rightarrow$$

$$f^{\prime }(x)<g^{\prime }(x)$$

对于第 (2) 个论述：

$$f(x)=-e^{-x}g(x)=e^{-x}\Rightarrow$$

$$f^{\prime }(x)=e^{-x}{g}^{\prime }(x)=-e^{-x}\Rightarrow$$

$$f^{\prime }(x)>g^{\prime }(x),f(x)<g(x)$$

综上，论述 (1) 和 (2) 都不对。

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