根号下的 x 有一个重要性质，一定要记住！

一、题目

已知 $f(x)$ $=$ $\int_{1}^{\sqrt{x}} \mathrm{e}^{-t^{2}} \mathrm{~d} t$, 则 $\int_{0}^{1} \frac{f(x)}{\sqrt{x}} \mathrm{~d} x=?$

难度评级：

二、解析

由于（重要性质）：

$$
(\sqrt{x})^{\prime}=\frac{1}{2} \frac{1}{\sqrt{x}} \Rightarrow
$$

因此：

$$
f(x)=\int_{0}^{1} \frac{f(x)}{\sqrt{x}} \mathrm{~ d} x = 2 \int_{0}^{1} f(x) \mathrm{~ d} (\sqrt{x})=
$$

$$
2\left[\left.\sqrt{x} f(x)\right|_{0} ^{1}-\int_{0}^{1} \sqrt{x} f^{\prime}(x) \mathrm{~ d} x\right] .
$$

又：

$$
2 \sqrt{x} f(x) \Big|_{0} ^{1}=2 f(1)=2 \int_{1}^{1} e^{-t^{2}} d t=0
$$

$$
\int_{0}^{1} \sqrt{x} f^{\prime}(x) \mathrm{~ d} x=\int_{0}^{1} \sqrt{x} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{x}} e^{-x} \mathrm{~ d} x=
$$

$$
\frac{-1}{2} \int_{0}^{1} e^{-x} \mathrm{~ d} (-x)=\left.\frac{-1}{2} e^{-x}\right|_{0} ^{1}=\frac{-1}{2}\left(e^{-1}-1\right)
$$

$$
=\frac{1}{2}-\frac{1}{2 e}
$$

综上：

$$
f(x)=\frac{1}{e}-1
$$

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