解决数学问题的常用思路：把未知转化为已知

一、题目

已知 $f(x),\phi (x)$ 均为连续函数, $a\ne 0$ 且为常数, ${\int }_0^{a}f[\phi (a-x)]\mathrm{d}x$ $=$ $A$, 则 $I$ $=$ ${\int }_0^{a}x[f[\phi (x)]+f[\phi (a-x)]]\mathrm{d}x=?$

难度评级：

二、解析

首先，我们一定要看清楚下面的中括号的范围：

$$I={\int }_0^{a}x[f[\phi (x)]+f[\phi (a-x)]]\mathrm{d}x=$$

$$I={\int }_0^{a}xf[\phi (x)]\mathrm{d}x+{\int }_0^{a}xf[\phi (a-x)]\mathrm{d}x.$$

接着，我们尝试将 ${\int }_0^{a}xf[\phi (x)]\mathrm{d}x$ 转化为已知的形式，于是，令：

$$x=a-t\Rightarrow \mathrm{d}x=-\mathrm{d}t\Rightarrow t=a-x\Rightarrow t\in (a,0)$$

则：

$${\int }_0^{a}xf[\phi (x)]\mathrm{d}x=$$

$$-{\int }_a^0(a-t)f[\phi (a-t)]\mathrm{d}t=$$

$${\int }_0^a(a-t)f[\phi (a-t)]\mathrm{d}t\Rightarrow$$

$$t=x\Rightarrow$$

$${\int }_0^a(a-x)f[\phi (a-x)]\mathrm{d}x\Rightarrow$$

$$a{\int }_0^{a}f[\phi (a-x)]\mathrm{d}x-{\int }_0^{a}xf[\phi (a-x)]\mathrm{d}x$$

因此：

$$I=a{\int }_0^{a}f[\phi (a-x)]\mathrm{d}x-{\int }_0^{a}x[\phi (a-x)]\mathrm{d}x$$

$$+{\int }_0^{a}x[\phi (a-x)]\mathrm{d}x=$$

$$a{\int }_0^{a}f[\phi (a-x)]\mathrm{d}x=aA.$$

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