对没有平方项的二次项使用拉格朗日配方法：有时候直接反解方程组比求解逆矩阵更简单

一、题目

使用拉格朗日配方法将 $f$ $=$ $2x_1{x}_2+2x_1{x}_3-6x_2{x}_3$ 化为标准形，并求出对应的线性变换矩阵 $C$.

难度评级：

二、解析

Tips:

关于拉格朗日配方法的完整讲解，可以参阅《将二次型化为标准型（规范型）的方法之：拉格朗日配方法》这篇文章。

已知：

$$f=2x_1{x}_2+2x_1{x}_3-6x_2{x}_3$$

令：

$$\begin{array}{}\text{(1)}& \{\begin{array}{l}{x}_1=y_1+y_2\\ x_2=y_1-y_2\\ x_3=y_3.\end{array}\Rightarrow \end{array}$$

$$\left[\begin{array}{l}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}1& 1& 0\\ 1& -1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}{y}_1\\ y_2\\ y_3\end{array}\right]$$

$$(1)\Rightarrow f\Rightarrow$$

$$f=2(y_1+y_2)(y_1-y_2)+2(y_1+y_2)y_3-$$

$$6(y_1-y_2)y_3\Rightarrow$$

$$f=2y_1^2-2y_2^2+2y_1{y}_3+2y_2{y}_3-$$

$$6y_1{y}_3+6y_2{y}_3\Rightarrow$$

$$f=2y_1^2-2y_2^2+8y_2{y}_3-4y_1{y}_3\Rightarrow$$

$$f=2(y_1^2-2y_1{y}_3)-2y_2^2+8y_2{y}_3\Rightarrow$$

$$f=2{(y_1-y_3)}^2-2y_2^2-2y_3^2+8y_2{y}_3\Rightarrow$$

$$f=2{(y_1-y_3)}^2-2(y_2^2-4y_2{y}_3)-2y_3^2\Rightarrow$$

$$f=2{(y_1-y_3)}^2-2{(y_2-2y_3)}^2+6y_3^2$$

于是：

$$\{\begin{array}{l}{z}_1=y_1-y_3\\ z_2=y_2-2y_3\\ z_3=y_3\end{array}\Rightarrow$$

$$\{\begin{array}{l}{z}_1=y_1-z_3\\ z_2=y_2-2z_3\\ y_3=z_3\end{array}\Rightarrow$$

$$\{\begin{array}{l}{y}_1=z_1+z_3\\ y_2=z_2+2z_3\\ y_3=z_3\end{array}\Rightarrow$$

$$\left[\begin{array}{l}{y}_1\\ y_2\\ y_3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{lll}1& 0& 1\\ 0& 1& 2\\ 0& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}{z}_1\\ z_2\\ z_3\end{array}\right]$$

于是可知，二次型 $f$ 的标准型为：

$$f=2z_1^2-2z_2^2+6z_3^2$$

对应的变换矩阵为：

$$C=\left[\begin{array}{ccc}1& 1& 0\\ 1& -1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{lll}1& 0& 1\\ 0& 1& 2\\ 0& 0& 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}1& 1& 3\\ 1& -1& -1\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$$

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