二元函数的可微性你会证明吗：偏导数都存在也不一定可微哦

题目 02

已知 $f(x, y)=\left\{\begin{array}{cl}\frac{x y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}, & (x, y) \neq(0,0), \\ 0, & (x, y)=(0,0),\end{array}\right.$ 则 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处可微吗？

解析 02

首先验证偏导数是否存在：

$$
f_{x}^{\prime}(0,0)=\lim \limits_{\substack{\Delta x \rightarrow 0 \\ y=0}} \frac{f(\Delta x, 0)-0}{\Delta x}=\frac{0-0}{(\Delta x)^{2}}=0
$$

$$
f_{y}^{\prime}(0,0)=\lim \limits_{\substack{\Delta y \rightarrow 0 \\ x=0}} \frac{f(0, \Delta y)-0}{\Delta y}=\frac{0-0}{(\Delta y)^{2}} = 0
$$

Tips:

为了简便起见，在求解出 $f_{x}^{\prime}(0,0)$ 可由变量 $x$ 与 $y$ 的对称性直接得出 $f_{y}^{\prime}(0,0) = f_{x}^{\prime}(0,0)$ 的结论。

接着验证是否可微：

$$
\lim \limits_{\substack{\Delta x \rightarrow 0 \\ \Delta y \rightarrow 0}} \frac{f(\Delta x, \Delta y)}{\sqrt{(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}}}=
$$

$$
\lim \limits_{\substack{\Delta x \rightarrow 0 \\ \Delta y \rightarrow 0}} \frac{\Delta x \cdot \Delta y}{(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}} \Rightarrow
$$

若令 $\Delta y=\Delta x$, 则：

$$
\frac{(\Delta x)^{2}}{2(\Delta x)^{2}}=\frac{1}{2} \neq 0
$$

上面的计算步骤只是一个特例，事实上：

$$
\lim \limits_{\substack{\Delta x \rightarrow 0 \\ \Delta y \rightarrow 0}} \frac{\Delta x \cdot \Delta y}{(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}} \Rightarrow
$$

$$
\Delta y = k \Delta x \Rightarrow
$$

$$
\lim \limits_{\substack{\Delta x \rightarrow 0}} \frac{\Delta x \cdot k \Delta x}{(\Delta x)^{2}+(k \Delta x)^{2}} \Rightarrow
$$

$$
\lim \limits_{\substack{\Delta x \rightarrow 0}} \frac{k (\Delta x)^{2}}{(1+k^{2}) (\Delta x)^{2}} = \frac{k}{1 + k^{2}} \ neq 0
$$

综上可知，$f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处不可微。

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