一层一层剥洋葱:从可降阶微分方程到变量可分离的微分方程再到另一个变量可分离的微分方程

一、题目题目 - 荒原之梦

初值问题 {1+(y)2=2yy,y(1)=1,y(1)=1 的特解是()

难度评级:

二、解析 解析 - 荒原之梦

本题所给的方程式属于不显含 x 的可降阶微分方程,于是,令 p(y)=y, 则:

p(y)=y= dy dxd2y dx2=d dx( dy dx)=

 dp dx= dp dy dy dx= dp dyp

于是:

1+(y)2=2yy

1+p2=2yp dp dy

1+p2=y2p dp dy

1+p22p dp=y dy

分离变量:

2p1+p2 dp1y dy=0

同时积分:

2p1+p2 dp1y dy=lnC1

ln(1+p2)ln(y)=lnC1

ln(1+p2)=lnC1+ln(y)

ln(1+p2)=ln(C1y)

1+p2=C1y

y(1)=1, p(y)|x=1=y(1)=1

1+1=C1×1C1=2

1+p2=2yp2=2y1

p=2y1

或者:

p=2y1

Tips:

接下来,我们需要验证,在题设条件下,p 到底和哪一个式子相等。

又:

x=1y=1,p=12y1=11

因此:

p2y1

p=2y1

 dy dx=2y11

 dy2y1=1 dx

12y1 dy1 dx=0

又:

[(2y1)12]=12(2y1)122=12y1

于是:

12y1 dy1 dx=0

2y1x=C2x=1y=1

11=C2C2=2

2y1x=2

2y1+x=2

2y1=2x

2y1=4+x24x

2y=x24x+5

y=12(x24x+5)


荒原之梦考研数学思维导图
荒原之梦考研数学思维导图

高等数学箭头 - 荒原之梦

涵盖高等数学基础概念、解题技巧等内容,图文并茂,计算过程清晰严谨。

线性代数箭头 - 荒原之梦

以独特的视角解析线性代数,让繁复的知识变得直观明了。

特别专题箭头 - 荒原之梦

通过专题的形式对数学知识结构做必要的补充,使所学知识更加连贯坚实。

荒原之梦考研数学网 | 让考场上没有难做的数学题!

荒原之梦网全部内容均为原创,提供了涵盖考研数学基础知识、考研数学真题、考研数学练习题和计算机科学等方面,大量精心研发的学习资源。

豫 ICP 备 17023611 号-1 | 公网安备 - 荒原之梦 豫公网安备 41142502000132 号 | SiteMap
Copyright © 2017-2024 ZhaoKaifeng.com 版权所有 All Rights Reserved.

Copyright © 2024   zhaokaifeng.com   All Rights Reserved.
豫ICP备17023611号-1
 豫公网安备41142502000132号

荒原之梦 自豪地采用WordPress