如何判断一个函数的绝对值在某点处是否可导？一个简单的例子就可以让你记住相关定理

一、前言

你知道如何通过函数 $f(x)$ 判断函数 $|f(x)|$ 在一点处的可导性吗？

二、正文

1. 判断函数绝对值可导性的结论

如果函数 $f(x)$ 连续，则在 $x = x_{0}$ 点处：

(1) 若 $f(x_{0}) \neq 0$, 则函数 $|f(x)|$ 在点 $x=x_{0}$ 处【可导】$\Leftrightarrow$ 函数 $f(x)$ 在点 $x = x_{0}$ 处【可导】；

(2) 若 $f(x_{0}) = 0$, 则函数 $|f(x)|$ 在点 $x=x_{0}$ 处【可导】$\Leftrightarrow$ 一阶导函数 $f^{\prime}(x_{0}) \textcolor{red}{=} 0$

延伸一下，我们就有：

(3) 若 $f(x_{0}) \neq 0$, 则函数 $|f(x)|$ 在点 $x=x_{0}$ 处【不可导】$\Leftrightarrow$ 函数 $f(x)$ 在点 $x = x_{0}$ 处【不可导】；

(4) 若 $f(x_{0}) = 0$, 则函数 $|f(x)|$ 在点 $x=x_{0}$ 处【不可导】$\Leftrightarrow$ 一阶导函数 $f^{\prime}(x_{0}) \textcolor{red}{\neq} 0$ 或者 $f^{\prime}(x_{0})$【不存在】。

2. 通过一个简单的例子记住上面的结论

上面的例子可以通过函数 $f(x) = x$ 和 $|f(x)| = |x|$ 来记住：

我们知道，$|f(x)| = |x|$ 在点 $x = 0$ 处是不可导的，在其他位置是可导的，且 $f^{\prime}(x) = 1$, 于是：

(1) 当 $x \neq 0$ 时，$f(x)$ 可导，则 $|f(x)|$ 也可导；

(2) 当 $x = 0$ 时，$f^{\prime}(0) = 1 \neq 0$, 因此，$|f(x)|$ 在 $x = 0$ 这一点处不可导。

所以，再遇到带有绝对值的函数，需要判断该函数的可导性时，就可以通过“$f(x) = x$ 和 $|f(x)| = |x|$”这个例子引出来我们需要的结论了。

相关例题

1. 判断一下这个加了绝对值得函数是否可导

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