如何判断一个函数的绝对值在某点处是否可导?一个简单的例子就可以让你记住相关定理

一、前言 前言 - 荒原之梦

你知道如何通过函数 f(x) 判断函数 |f(x)| 在一点处的可导性吗?

二、正文 正文 - 荒原之梦

1. 判断函数绝对值可导性的结论

如果函数 f(x) 连续,则在 x=x0 点处:

(1) 若 f(x0)0, 则函数 |f(x)| 在点 x=x0 处【可导】 函数 f(x) 在点 x=x0 处【可导】;

(2) 若 f(x0)=0, 则函数 |f(x)| 在点 x=x0 处【可导】 一阶导函数 f(x0)=0

延伸一下,我们就有:

(3) 若 f(x0)0, 则函数 |f(x)| 在点 x=x0 处【不可导】 函数 f(x) 在点 x=x0 处【不可导】;

(4) 若 f(x0)=0, 则函数 |f(x)| 在点 x=x0 处【不可导】 一阶导函数 f(x0)0 或者 f(x0)【不存在】。

2. 通过一个简单的例子记住上面的结论

上面的例子可以通过函数 f(x)=x|f(x)|=|x| 来记住:

我们知道,|f(x)|=|x| 在点 x=0 处是不可导的,在其他位置是可导的,且 f(x)=1, 于是:

(1) 当 x0 时,f(x) 可导,则 |f(x)| 也可导;

(2) 当 x=0 时,f(0)=10, 因此,|f(x)|x=0 这一点处不可导。

所以,再遇到带有绝对值的函数,需要判断该函数的可导性时,就可以通过“f(x)=x|f(x)|=|x|”这个例子引出来我们需要的结论了。

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