你能找到下面哪个反常积分是发散的吗

一、题目

下列反常积分发散的是哪个？

(A) ${\int }_{-1}^1\frac{1}{\sin x}\mathrm{d}x$.

(B) ${\int }_{-1}^1\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\mathrm{d}x$.

(C) ${\int }_0^{+\mathrm{\infty }}{\mathrm{e}}^{-x^2}\mathrm{d}x$.

(D) ${\int }_2^{+\mathrm{\infty }}\frac{1}{x{\ln }^{2}x}\mathrm{d}x$.

难度评级：

二、解析

A 选项

对于 (A) 选项，我们可以通过直接进行积分运算的方式判断：

已知：

$$x=0\Rightarrow \sin x=0\Rightarrow$$

于是可知，$x=0$ 为其瑕点，因此：

$${\int }_{-1}^1\frac{1}{\sin x}\mathrm{d}x={\int }_{-1}^0\frac{1}{\sin x}\mathrm{d}x+{\int }_0^1\frac{1}{\sin x}\mathrm{d}x$$

其中：

$$I={\int }_0^1\frac{1}{\sin x}\mathrm{d}x={\int }_0^1\frac{1}{2\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}}\mathrm{d}x=$$

$${\int }_0^1\frac{1}{2\tan \frac{x}{2}{\cos }^2\frac{x}{2}}\mathrm{d}x\Rightarrow$$

$${(\tan \frac{x}{2})}^{\prime }=\frac{\frac{1}{2}}{{\cos }^2\frac{x}{2}}\Rightarrow$$

$$I={\int }_0^1\frac{d(\tan \frac{x}{2})}{\tan \frac{x}{2}}={\ln \tan \frac{x}{2}|}_{0^{+}}^1=$$

$$\ln \tan \frac{1}{2}-\ln 0=\mathrm{\infty }$$

于是可知，${\int }_0^1\frac{1}{\sin x}\mathrm{d}x$ 发散。

也可以通过“比阶判别法+常见反常积分敛散公式”的方法判断：

已知：

$$\underset{x\to 0}{lim}\frac{1}{\sin x}/\frac{1}{x}=\underset{x\to 0}{lim}\frac{1}{x}/\frac{1}{x}=1\ne 0$$

又知，常见的一个判断反常积分敛散性的公式为：

$${\int }_a^b\frac{1}{(x-a{)}^p}\mathrm{d}x=\{\begin{array}{l}\mathrm{收}\mathrm{敛},p<1\\ \mathrm{发}\mathrm{散},p⩾1\end{array}\Rightarrow$$

$$a=0,b=1,p=1\Rightarrow$$

$${\int }_0^1\frac{1}{x}\mathrm{d}x\Rightarrow \mathrm{发}\mathrm{散}$$

于是，由比较判别法的极限形式可知：

$${\int }_0^1\frac{1}{\sin x}\mathrm{d}x\Rightarrow \mathrm{发}\mathrm{散}$$

B 选项

$${\int }_{-1}^1\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{1-x^2}}={\arcsin x|}_{-1}^1=\frac{\pi }{2}-\left(\frac{-\pi }{2}\right)=\pi$$

C 选项

$${\int }_0^{+\mathrm{\infty }}{e}^{-x^2}\mathrm{d}x=\frac{\sqrt{\pi }}{2}$$

C 选项中的被积函数没有原函数，上面的结论直接来自《泊松公式》。

D 选项

$${\int }_{02}^{+\mathrm{\infty }}\frac{1}{x{\ln }^{2}x}\mathrm{d}x={\int }_{02}^{+\mathrm{\infty }}\frac{d(\ln x)}{{\ln }^{2}x}=$$

$$-{\frac{1}{\ln x}|}_2^{+\mathrm{\infty }}=-(0-\frac{1}{\ln 2})=\frac{1}{\ln 2}$$

综上可知，B, C, D 选项都收敛，只有 A 选项发散。

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