齐次线性方程组是否有非零解与系数矩阵的列向量是否相关有关

一、题目

齐次方程组 $A x=0$ 有非零解的充分必要条件是什么？

难度评级：

二、解析

为了理解本题，我们首先需要明白下列两项基础内容：

• $A x=0$ 中系数矩阵 $A$ 的【行】表示的是方程组中【方程的个数】；
• $A x=0$ 中系数矩阵 $A$ 的【列】表示的是方程组中【未知数 $x_{n}$ 的个数】。

同时，虽然为了不破坏未知数之间的相对关系，我们对系数矩阵 $A$ 的化简使用的是初等行变换，但是，最终有多少自由未知数，还是取决于系数矩阵的秩与系数矩阵中列向量的个数之间的关系：

当系数矩阵的秩 $r$ 小于系数矩阵中列向量的个数 $n$ 时，就会产生 $n-r$ 个自由未知数，由于我们在求解基础解系时是逐个对其中一个自由未知数赋值为 $1$, 将其余自由未知数赋值为 $0$ 并构建等式求解出非自由未知数此时的值，从而得到的一个解向量的——

这也就意味着，在齐次线性方程组中（在非齐次线性方程组中不一定有这个结论），有多少个自由未知数，就会有多少个非零的解向量（非零解）——

换句话说，在齐次线性方程组中，有无非零解取决于系数矩阵 $A$ 的列向量是否线性相关——

如果 $A$ 的【列】向量线性【相关】，则齐次线性方程组【有非零解】；

如果 $A$ 的【列】相关线性【无关】，则齐次线性方程组【没有非零解】。

同时需要注意，系数矩阵 $A$ 是否有【非零解】与 $A$ 的【行】向量是否线性相关没有关系。

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