你知道怎么在已知特征向量得前提下求解矩阵中得未知数吗

一、题目

已知 $\boldsymbol{\alpha}=(1,1,-1)^{\mathrm{\top}}$ 是矩阵 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{ccc}7 & 4 & -1 \\ 4 & 7 & -1 \\ -4 & -4 & x\end{array}\right]$ 的特征向量，则 $x=?$

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二、解析

$$
\Delta \alpha=\lambda \alpha \Rightarrow
$$

$$
A \alpha = \left[\begin{array}{ccc}
7 & 4 & -1 \\
4 & 7 & -1 \\
-4 & -4 & x
\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}
1 \\
1 \\
-1
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}
12 \\
12 \\
-12
\end{array}\right] \Rightarrow
$$

$$
-4-4-x=-12 \Rightarrow
$$

$$
x = 4
$$

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