同阶无穷小：次幂相等，系数可以不相等

一、题目

当 $x\to 0$ 时，下列无穷小与 $x^3$ 为同阶无穷小的是哪一个？

(A) $x^3+x^2$.

(B) $\frac{1-\cos x}{x}$.

(C) ${\int }_0^{\ln (1+x)}({\mathrm{e}}^{t^2}-1)\mathrm{d}t$.

(D) $(1+\sin x{)}^{\ln (1+x)}-1$.

难度评级：

二、解析

A

$$\underset{x\to 0}{lim}(x^3+x^2)=\underset{x\to 0}{lim}(0+x^2)=\underset{x\to 0}{lim}{x}^2$$

B

$$\underset{x\to 0}{lim}\frac{1-\cos x}{x}\sim \underset{x\to 0}{lim}\frac{\frac{1}{2}{x}^2}{x}=\underset{x\to 0}{lim}\frac{1}{2}x$$

C

$$\underset{x\to 0}{lim}{\int }_0^{\ln (1+x)}(e^{t^2}-1)dt\Rightarrow \mathrm{求}\mathrm{导}\Rightarrow$$

$$\underset{x\to 0}{lim}\frac{1}{1+x}[e^{[\ln (1+x){]}^2}-1]=$$

$$\underset{x\to 0}{lim}\frac{1}{1+0}[e^{[\ln (1+x){]}^2}-1]=\underset{x\to 0}{lim}[\ln (1+x){]}^2=\underset{x\to 0}{lim}{x}^2\Rightarrow$$

由于求一次导会降一阶，因此：

$$\underset{x\to 0}{lim}{\int }_0^{\ln (1+x)}(e^{t^2}-1)dt\sim \underset{x\to 0}{lim}{x}^3$$

D

$$\underset{x\to 0}{lim}(1+\sin x{)}^{\ln (1+x)}-1=\underset{x\to 0}{lim}\sin x\ln (1+x)\sim \underset{x\to 0}{lim}{x}^2$$

或者：

$$\underset{x\to 0}{lim}(1+\sin x{)}^{\ln (1+x)}-1=\underset{x\to 0}{lim}{e}^{\ln (1+x)\ln (1+\sin x)}-1=$$

$$\underset{x\to 0}{lim}\ln (1+x)\ln (1+\sin x)\sim \underset{x\to 0}{lim}{x}^2.$$

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