一定要看清楚哦：这道题的变量不是趋于零的

一、题目

已知 $a\ne n\pi (n$ 为整数), 则 $\underset{x\to a}{lim}{\left(\frac{\sin x}{\sin a}\right)}^{\frac{a}{\sin x-\sin a}}=?$

难度评级：

二、解析

首先：

$$a\ne n\pi \Rightarrow \sin a\ne 0$$

接着：

$$I=\underset{x\to a}{lim}{\left(\frac{\sin x}{\sin a}\right)}^{\frac{a}{\sin x-\sin a}}\Rightarrow$$

$$\underset{x\to a}{lim}{e}^{\frac{a}{\sin x-\sin a}\ln \left(\frac{\sin x}{\sin a}\right)}.$$

又：

$$a\underset{x\to a}{lim}\frac{\ln \left(\frac{\sin x}{\sin a}\right)}{\sin x-\sin a}\Rightarrow$$

$$a\underset{x\to a}{lim}\frac{(\ln \sin x-\ln \sin a)}{\sin x-\sin a}\Rightarrow$$

$$a\underset{x\to a}{lim}\frac{\frac{\cos x}{\sin x}}{\cos x}\Rightarrow$$

$$a\underset{x\to a}{lim}\frac{1}{\sin x}=\frac{a}{\sin a}$$

于是：

$$I=e^{\frac{a}{\sin a}}.$$

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