一定要看清楚哦：这道题的变量不是趋于零的

一、题目

已知 $a \neq n \pi\left(n\right.$ 为整数), 则 $\lim \limits_{x \rightarrow a}\left(\frac{\sin x}{\sin a}\right)^{\frac{a}{\sin x-\sin a}}=?$

难度评级：

二、解析

首先：

$$
a \neq n \pi \Rightarrow \sin a \neq 0
$$

接着：

$$
I = \lim \limits_{x \rightarrow a}\left(\frac{\sin x}{\sin a}\right)^{\frac{a}{\sin x-\sin a}} \Rightarrow
$$

$$
\lim \limits_{x \rightarrow a} e^{\frac{a}{\sin x-\sin a} \ln \left(\frac{\sin x}{\sin a}\right)}.
$$

又：

$$
a \lim \limits_{x \rightarrow a} \frac{\ln \left(\frac{\sin x}{\sin a}\right)}{\sin x-\sin a} \Rightarrow
$$

$$
a \lim \limits_{x \rightarrow a} \frac{(\ln \sin x-\ln \sin a)}{\sin x-\sin a} \Rightarrow
$$

$$
a \lim \limits_{x \rightarrow a} \frac{\frac{\cos x}{\sin x}}{\cos x} \Rightarrow
$$

$$
a \lim \limits_{x \rightarrow a} \frac{1}{\sin x}=\frac{a}{\sin a}
$$

于是：

$$
I = e^{\frac{a}{\sin a}}.
$$

---