正定二次型的各阶顺序主子式的值都大于零

一、题目

若二次型 $f (x_{1}, x_{2}, x_{3})$ $=$ $a x_{1}^{2} + 4 x_{2}^{2} + a x_{3}^{2} + 6 x_{1} x_{2} + 2 x_{2} x_{3}$ 是正定的，则 $a$ 的取值范围是多少？

难度评级：

由题可知：

$A = [\begin{array}{lll} a & 3 & 0 \\ 3 & 4 & 1 \\ 0 & 1 & a \end{array}]$

Tips:

顺序主子式是从矩阵的第一行第一列（左上角第一个元素）开始的。

于是：

一阶顺序主子式：

$a > 0$

二阶顺序主子式：

$| \begin{array}{ll} a & 3 \\ 3 & 4 \end{array} | > 0 \Rightarrow 4 a - 9 > 0 \Rightarrow$

$4 a > 9 \Rightarrow a > \frac{9}{4} .$

三阶顺序主子式：

$| \begin{array}{lll} a & 3 & 0 \\ 3 & 4 & 1 \\ 0 & 1 & a \end{array} | > 0 \Rightarrow$

$4 a^{2} - 10 a > 0 \Rightarrow$

$a > 0 \Rightarrow 4 a - 10 > 0 \Rightarrow a > \frac{5}{2} .$

又：

$\frac{5}{2} > \frac{9}{4} > 0$

于是：

$a > \frac{5}{2} .$

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