相似矩阵的性质汇总

一、前言

如果存在可逆矩阵 $P$, 使得 $P^{-1} A P = B$ 成立，则称 $A$ 与 $B$ 相似，记作：

$$
A \sim B
$$

那么，相似矩阵之间都有哪些性质呢？下面的内容就汇总了考研数学中所需掌握的相似矩阵的性质。

二、正文

1. 相似具有反身性：

$$
A \sim A
$$

2. 相似具有对称性：

$$
A \sim B \Leftrightarrow B \sim A
$$

3. 相似具有传递性：

$$
A \sim B, B \sim C \Rightarrow A \sim C
$$

4. 相似矩阵具有相同的特征多项式：

$$
|A – \lambda E| = |B – \lambda E|
$$

5. 相似矩阵具有相同的特征值，且对应的行列式相等：

$$
|A| = |B| = \lambda_{1} \cdot \lambda_{2} \cdots \lambda_{n}
$$

Tips:

相似矩阵的特征向量不一定相同。

6. 相似矩阵主对角线元素的和相等（迹相等）：

$$
\sum a_{ii} = \sum b_{ii}
$$

或者：

$$
tr(A) = tr(B)
$$

7. 相似矩阵的秩相等：

$$
r(A) = r(B)
$$

8. 相似矩阵一定等价：

等价只要求矩阵 $A$ 经过有限次初等变换可以变成矩阵 $B$, 即：

$$
PAQ = B
$$

而矩阵相似则要求：

$$
P^{-1}AP=B
$$

10. 相似矩阵的 $n$ 次幂也相似

$$
A^{n} \sim B^{n}
$$

11. 相似矩阵同时加上 $k$ 倍的单位矩阵也相似

$$
A + kE \sim B + kE
$$

注意：

以上这些性质只是用于判断矩阵相似的辅助方法而不是决定性方法——相似矩阵一定满足上述性质，但满足上述性质的矩阵不一定是相似矩阵。

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