相似矩阵的性质汇总

一、前言 前言 - 荒原之梦

如果存在可逆矩阵 P, 使得 P1AP=B 成立,则称 AB 相似,记作:

AB

那么,相似矩阵之间都有哪些性质呢?下面的内容就汇总了考研数学中所需掌握的相似矩阵的性质。

二、正文 正文 - 荒原之梦

  1. 相似具有反身性:

AA

  1. 相似具有对称性:

ABBA

  1. 相似具有传递性:

AB,BCAC

  1. 相似矩阵具有相同的特征多项式:

|AλE|=|BλE|

  1. 相似矩阵具有相同的特征值,且对应的行列式相等:

|A|=|B|=λ1λ2λn

Tips:

相似矩阵的特征向量不一定相同。

  1. 相似矩阵主对角线元素的和相等(迹相等):

aii=bii

或者:

tr(A)=tr(B)

  1. 相似矩阵的秩相等:

r(A)=r(B)

  1. 相似矩阵一定等价:

等价只要求矩阵 A 经过有限次初等变换可以变成矩阵 B, 即:

PAQ=B

而矩阵相似则要求:

P1AP=B

  1. 相似矩阵的 n 次幂也相似

AnBn

  1. 相似矩阵同时加上 k 倍的单位矩阵也相似

A+kEB+kE

注意:

以上这些性质只是用于判断矩阵相似的辅助方法而不是决定性方法——相似矩阵一定满足上述性质,但满足上述性质的矩阵不一定是相似矩阵。


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