常数乘在矩阵的左边或者右边效果一样

一、题目

已知 $\mathit{A}=\left[\begin{array}{lll}3& 0& 0\\ 2& 3& 0\\ 0& 0& 3\end{array}\right]$, 且 $\mathit{B}\mathit{A}=\mathit{A}+2\mathit{B}$, 则 $\mathit{B}=?$

难度评级：

二、解析

已知：

$$BA=A+2B\Rightarrow BA-2B=A\Rightarrow$$

$$BA-B\times 2=A\Rightarrow$$

$$B(A-2E)=A\Rightarrow$$

$$B=A(A-2E{)}^{-1}$$

又：

$$A-2E=\left[\begin{array}{lll}1& 0& 0\\ 2& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$$

且：

$$\left[\begin{array}{llllll}1& 0& 0& 1& 0& 0\\ 2& 1& 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 1& 0& 0& 1\end{array}\right]\Rightarrow \left[\begin{array}{cccccc}1& 0& 0& 1& 0& 0\\ 0& 1& 0& -2& 1& 0\\ 0& 0& 1& 0& 0& 1\end{array}\right]\Rightarrow$$

$$(A-2E{)}^{-1}=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ -2& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$$

于是：

$$B=A(A-2E{)}^{-1}=\left[\begin{array}{ccc}3& 0& 0\\ -4& 3& 0\\ 0& 0& 3\end{array}\right]$$

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