求解具体矩阵时一定记得先用对应的抽象矩阵公式化简

一、题目

已知，三阶矩阵 $\mathit{A}$ 的逆矩阵为 ${\mathit{A}}^{-1}=\left[\begin{array}{lll}0& 1& 1\\ 1& 0& 1\\ 1& 1& 0\end{array}\right]$, 则矩阵 $\mathit{A}$ 的伴随矩阵 ${\mathit{A}}^{\mathbf{\ast }}$ 的逆矩阵 ${\left(A^{\ast }\right)}^{-1}=?$

难度评级：

二、解析

已知：

$$A^{\ast }=|A|\cdot A^{-1}\Rightarrow$$

$${\left(A^{\ast }\right)}^{-1}={(|A|\cdot A^{-1})}^{-1}=A\cdot \frac{1}{|A|}\Rightarrow$$

$${\left(A^{\ast }\right)}^{-1}=A\cdot \left|A^{-1}\right|$$

又：

$$(A^{-1}\mid E)\Rightarrow \mathrm{初}\mathrm{等}\mathrm{行}\mathrm{变}\mathrm{换}\Rightarrow (E\mid A)\Rightarrow$$

$$\left[\begin{array}{llllll}0& 1& 1& 1& 0& 0\\ 1& 0& 1& 0& 1& 0\\ 1& 1& 0& 0& 0& 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccccc}1& 0& 0& -\frac{1}{2}& \frac{1}{2}& \frac{1}{2}\\ 0& 1& 0& \frac{1}{2}& -\frac{1}{2}& \frac{1}{2}\\ 0& 0& 1& \frac{1}{2}& \frac{1}{2}& -\frac{1}{2}\end{array}\right]\Rightarrow$$

$$A=\left[\begin{array}{ccc}-\frac{1}{2}& \frac{1}{2}& \frac{1}{2}\\ \frac{1}{2}& -\frac{1}{2}& \frac{1}{2}\\ \frac{1}{2}& \frac{1}{2}& -\frac{1}{2}\end{array}\right]$$

Tips:

上面这个计算过程的原理可以参考《通过把单位矩阵 E 看作一张白纸或原点来理解一些做题思路》

且：

$$\left|A^{-1}\right|=0+1+1-0-0-0=2$$

综上可知：

$$(A^{\ast }{)}^{-1}=2A=\left[\begin{array}{ccc}-1& 1& 1\\ 1& -1& 1\\ 1& 1& -1\end{array}\right].$$

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