一、题目
已知,三阶矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的逆矩阵为 $\boldsymbol{A}^{-1}=\left[\begin{array}{lll}0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0\end{array}\right]$, 则矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的伴随矩阵 $\boldsymbol{A^{*}}$ 的逆矩阵 $\left(A^{*}\right)^{-1}=?$
难度评级:
二、解析
已知:
$$
A^{*}=|A| \cdot A^{-1} \Rightarrow
$$
$$
\left(A^{*}\right)^{-1}=\left(|A| \cdot A^{-1}\right)^{-1}=A \cdot \frac{1}{|A|} \Rightarrow
$$
$$
\left(A^{*}\right)^{-1}=A \cdot\left|A^{-1}\right|
$$
又:
$$
\left(A^{-1} \mid E\right) \Rightarrow 初等行变换 \Rightarrow (E \mid A) \Rightarrow
$$
$$
{\left[\begin{array}{llllll}0 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccccc}1 & 0 & 0 & -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ 0 & 1 & 0 & \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ 0 & 0 & 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & -\frac{1}{2}\end{array}\right]} \Rightarrow
$$
$$
A=\left[\begin{array}{ccc}-\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & -\frac{1}{2}\end{array}\right]
$$
Tips:
上面这个计算过程的原理可以参考《通过把单位矩阵 E 看作一张白纸或原点来理解一些做题思路》
且:
$$
\left|A^{-1}\right|=0+1+1-0-0-0=2
$$
综上可知:
$$
(A^{*})^{-1}=2 A=\left[\begin{array}{ccc}-1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & -1\end{array}\right].
$$
高等数学
涵盖高等数学基础概念、解题技巧等内容,图文并茂,计算过程清晰严谨。
线性代数
以独特的视角解析线性代数,让繁复的知识变得直观明了。
特别专题
通过专题的形式对数学知识结构做必要的补充,使所学知识更加连贯坚实。
让考场上没有难做的数学题!