题目没给变量的取值范围就一定不能去掉绝对值符号吗？不！

一、题目

已知 $\sin x\ln |x|$ 是 $f(x)$ 的一个原函数，则不定积分 $\int x{f}^{\prime }(x)\mathrm{d}x=?$

难度评级：

二、解析

由题可知：

$$(\sin x\ln |x|{)}^{\prime }=f(x)$$

于是：

$$\int x{f}^{\prime }(x)\mathrm{d}x=\int x\mathrm{d}[f(x)]=$$

$$xf(x)-\int f(x)\mathrm{d}x=$$

$$x(\sin x\ln |x|{)}^{\prime }-\sin x\ln |x|+c\Rightarrow$$

$$x\cos x\ln |x|+x\sin x(\ln |x|{)}^{\prime }-\sin x\ln |x|+C.$$

又：

$$x>0\Rightarrow (\ln |x|{)}^{\prime }=(\ln x{)}^{\prime }=\frac{1}{x}$$

$$x<0\Rightarrow (\ln |x|{)}^{\prime }=-[\ln (-x){]}^{\prime }=-\frac{-1}{x}=\frac{1}{x}$$

Tips:

上面这步处理绝对值的操作是本题的关键。

因此：

$$x\cos x\ln |x|+x\sin x(\ln |x|{)}^{\prime }-\sin x\ln |x|+C=$$

$$x\cos x\ln |x|+x\sin x\cdot \frac{1}{x}-\sin x\ln |x|+C=$$

$$x\cos x\ln |x|+\sin x-\sin x\ln |x|+C.$$

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