极坐标方程转直角坐标方程的核心：构造平方

一、题目

将累次积分 ${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\mathrm{d}\theta {\int }_0^{2\sin \theta }f(r\cos \theta ,r\sin \theta )r\mathrm{d}r$ 写成直角坐标系下的形式。

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二、解析

首先，由题可知：

$$\theta \in (0,\frac{\pi }{2})$$

$$r\in (0,2\sin \theta )$$

又：

$$r=2\sin \theta \Rightarrow$$

构造“平方”——乘以一个 $r$:

$$r^2=2r\sin \theta \Rightarrow$$

$$r^2({\cos }^2\theta +{\sin }^2\theta )=2r^2\sin \theta \Rightarrow$$

$$r^2{\cos }^2\theta +r^2{\sin }^2\theta =2r^2\sin \theta \Rightarrow$$

$$x^2+y^2=2y\Rightarrow$$

$$x^2+(y-1{)}^2=1.$$

于是，我们可以绘制出如下积分区域图：

$$

$$

又知，圆的方程 $x^2+y^2$ $=$ $2y$ 在直角坐标系第一象限的函数可以表示为：

$$x=\sqrt{2y–y^2}$$

被积函数为：

$$f(r\cos \theta ,r\sin \theta )r\Rightarrow$$

$$\frac{f(r\cos \theta ,r\sin \theta )r}{r}=f(x,y)$$

且由积分区域的形式可知，先对 $y$ 积分，后对 $x$ 积分更容易表示，因此，有：

$${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\mathrm{d}\theta {\int }_0^{2\sin \theta }f(r\cos \theta ,r\sin \theta )r\mathrm{d}r=$$

$${\int }_0^2\mathrm{d}y{\int }_0^{\sqrt{2y-y^2}}f(x,y)\mathrm{d}x$$