极坐标系和直角坐标系累次积分互相转换：别忘了那个特别的 $r$

一、题目

将极坐标系 $(r, \theta)$ 中的累次积分 $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \mathrm{~d} \theta \int_{\frac{1}{\cos \theta+\sin \theta}}^{1} f(r \cos \theta, r \sin \theta) \mathrm{d} r$ 转化为直角坐标系 $(x, y)$ 中的累次积分。

难度评级：

二、解析

首先，由题可知：

$$
\theta \in (0, \frac{\pi}{2}) \Rightarrow 积分区域在第一象限
$$

$$
r \in \Big( \frac{1}{\cos \theta + \sin \theta}, 1 \Big) \Rightarrow 从 \frac{1}{\cos \theta + \sin \theta} 到半径为 1 的圆
$$

又：

$$
r = \frac{1}{\cos \theta + \sin \theta} \Rightarrow
$$

$$
r \cos \theta + r \sin \theta = 1 \Rightarrow
$$

$$
x+y = 1 \Rightarrow
$$

$$
y = -x + 1.
$$

且：

$x^{2} + y^{2}$ $=$ $1$ 在第一象限内的函数为：

$$
y = \sqrt{1 – x^{2}}
$$

综上，我们可以绘制出如图所示的积分区域：

由于直角坐标系二重积分转极坐标系二重积分的时候，需要在被积函数的位置乘上一个 $r$, 那么，反过来，极坐标系二重积分转直角坐标系二重积分的时候就需要除以一个 $r$, 因此，在本题中，直角坐标系下的被积函数应该是：

$$
f(r \cos \theta, r \sin \theta) \Rightarrow
$$

$$
\frac{f(r \cos \theta, r \sin \theta)}{r} \Rightarrow
$$

$$
\frac{f(x, y)}{r} \Rightarrow
$$

$$
\frac{f(x, y)}{\sqrt{r^{2} \cos ^{2} \theta + r^{2} \sin ^{2} \theta}} \Rightarrow
$$

$$
\frac{f(x, y)}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}.
$$

综上可知，将极坐标系 $(r, \theta)$ 中的累次积分 $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \mathrm{~d} \theta \int_{\frac{1}{\cos \theta+\sin \theta}}^{1} f(r \cos \theta, r \sin \theta) \mathrm{d} r$ 转化为直角坐标系 $(x, y)$ 中的累次积分，就是：

$$
\int_{0}^{1} \mathrm{~d} x \int_{1-x}^{\sqrt{1-x^{2}}} \frac{f(x, y)}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} \mathrm{~d} y.
$$

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