极坐标系和直角坐标系累次积分互相转换：别忘了那个特别的 $r$

一、题目

将极坐标系 $(r,\theta )$ 中的累次积分 ${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\mathrm{d}\theta {\int }_{\frac{1}{\cos \theta +\sin \theta }}^{1}f(r\cos \theta ,r\sin \theta )\mathrm{d}r$ 转化为直角坐标系 $(x,y)$ 中的累次积分。

难度评级：

二、解析

首先，由题可知：

$$\theta \in (0,\frac{\pi }{2})\Rightarrow \mathrm{积}\mathrm{分}\mathrm{区}\mathrm{域}\mathrm{在}\mathrm{第}\mathrm{一}\mathrm{象}\mathrm{限}$$

$$r\in (\frac{1}{\cos \theta +\sin \theta },1)\Rightarrow \mathrm{从}\frac{1}{\cos \theta +\sin \theta }\mathrm{到}\mathrm{半}\mathrm{径}\mathrm{为}1\mathrm{的}\mathrm{圆}$$

又：

$$r=\frac{1}{\cos \theta +\sin \theta }\Rightarrow$$

$$r\cos \theta +r\sin \theta =1\Rightarrow$$

$$x+y=1\Rightarrow$$

$$y=-x+1.$$

且：

$x^2+y^2$ $=$ $1$ 在第一象限内的函数为：

$$y=\sqrt{1–x^2}$$

综上，我们可以绘制出如图所示的积分区域：

由于直角坐标系二重积分转极坐标系二重积分的时候，需要在被积函数的位置乘上一个 $r$, 那么，反过来，极坐标系二重积分转直角坐标系二重积分的时候就需要除以一个 $r$, 因此，在本题中，直角坐标系下的被积函数应该是：

$$f(r\cos \theta ,r\sin \theta )\Rightarrow$$

$$\frac{f(r\cos \theta ,r\sin \theta )}{r}\Rightarrow$$

$$\frac{f(x,y)}{r}\Rightarrow$$

$$\frac{f(x,y)}{\sqrt{r^2{\cos }^2\theta +r^2{\sin }^2\theta }}\Rightarrow$$

$$\frac{f(x,y)}{\sqrt{x^2+y^2}}.$$

综上可知，将极坐标系 $(r,\theta )$ 中的累次积分 ${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\mathrm{d}\theta {\int }_{\frac{1}{\cos \theta +\sin \theta }}^{1}f(r\cos \theta ,r\sin \theta )\mathrm{d}r$ 转化为直角坐标系 $(x,y)$ 中的累次积分，就是：

$${\int }_0^1\mathrm{d}x{\int }_{1-x}^{\sqrt{1-x^2}}\frac{f(x,y)}{\sqrt{x^2+y^2}}\mathrm{d}y.$$

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